Corrigé des exercices - Dunod

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2. a) Y (Ω) = N.
Pour tout entier n supérieur ou égal à k, P(Y = n) = ( n−1
k−1)
p k (1 − p) n−k .
(Y = 0) est l’événement «le k ième succès ne se réalise pas».
Pour tout entier n non nul (Y = 0) ⊆ (X n k − 1).
Donc pour tout entier n supérieur à k−1
np(1−p)
p
, P(Y = 0)
(np−k+1)
. 2
np(1−p)
Or lim
n→+∞ (np−k+1)
= 0. Donc par encadrement, P(Y = 0) = 0.
2
b) La famille (Y = n) nk est un système quasi-complet d’événements.
Donc +∞ ∑ ( n−1
k−1)
p k (1 − p) n−k = 1.
n=k
Alors +∞ ∑ ( )
j−1
k.
k−1)
(1 − p) j =
j=k
(
1−p
p
c) Remarquons que n ( n−1
k−1)
p k (1 − p) n−k = k p( n
k)
p k+1 (1 − p) n−k .
La série de terme général ( n
k)
(1 − p) n+1 converge et
+∞∑
n=k
( n
k)
(1 − p) n+1 =
+∞∑
n=k+1
( ) ( n − 1 1 − p
(1 − p) n =
k
p
) k+1
donc la série de terme général n ( n−1
k−1)
p k (1 − p) n−k converge.
( ) k+1 +∞∑
Donc Y admet une espérance et E(Y ) = k p
)
p 1−p (1 − p) n+1 = k p .
Exercice 30.24
1. P( X k = 1 6
) est non nul si k est un multiple de 6.
X suit une loi binomiale de paramètre (6n,p). Donc a n = ( )
6n
n p n (1 − p) 5n .
2. a) Si X = n alors |X − 6np| = |n − 6np| = n |1 − 6p|. Donc (X = n) ⊆ (|X − 6np| n |1 − 6p|).
Donc a n P (|X − 6np| n |1 − 6p|).
b) D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebicheff,
n=k
pour tout ε > 0, P(|X − 6np| ε)
( n
k
6np(1 − p)
ε 2
En prenant ε = n |1 − 6p| > 0 car p ≠ 1 6np(1−p)
6
, P(|X − 6np| n |1 − 6p|)
n 2 (1−6p)
. 2
Donc na n 6p(1−p)
(1−6p)
. 2
c) an+1
a n
Donc an+1
a n
Ainsi lim
n→+∞
= (6n+6 n+1 )p n+1 (1−p) 5n+5
( 6n n )p n (1−p) 5n .
= (6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)
(n+1)(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1) p(1 − p)5 .
a n+1
a n
= 66
5
p(1 − p) 5 .
5
3. a) La fonction x ↦→ x(1 − x) 5 est une fonction continue et dérivable sur [0,1] de dérivée
x ↦→ (1 − x) 4 (1 − 6x).