Corrigé des exercices - Dunod

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2. Soit x 0 ∈ R + et ε > 0. L’ensemble A défini à la première question est fini. Il en est de
même de A 1 = A∩] − ∞,x 0 [ et A 2 = A∩]x 0 ,+∞[. On pose x 1 = max A 1 et x 2 = min A 2
(si A 1 = ∅, on prend x 1 réel quelconque > x 0 et de même pour x 2 ). Si x ∈ ]x 1 ,x 0 [∪]x 0 ,x 2 [
et x ∈ Q, x /∈ A et donc f(x) < ε. Comme f(x) = 0 si x /∈ Q, on en déduit que pour tout
x ∈ R + ,
x ∈ ]x 1 ,x 0 [=⇒ 0 f(x) < ε et x ∈ ]x 0 ,x 2 [=⇒ 0 f(x) < ε.
Ceci démontre que
lim f(x) = lim f(x) = 0.
x→x + 0 x→x − 0
3. De la question précédente, on déduit que f est continue en x 0 si et seulement si f(x 0 ) = 0,
c’est-à-dire si et seulement si x ∈ R + \ Q.
Exercice 16.13
1. a) Puisque n = Ent(x − A), on a x − A n et x − n A. On en déduit que
n∑
|f(x) − f(x − n)| =
f(x − (k − 1)) − f(x − k)
∣
∣
car x − k A, pour 1 k n.
k=1
n∑
|f(x − (k − 1) − f(x − k)|
k=1
n∑
ε nε,
k=1
b) Par définition de la partie entière, on a n x − A < n + 1 et donc A x − n < A + 1.
On en déduit |f(x − n)| M et par l’inégalité triangulaire
puis
car x n + A n.
|f(x)| |f(x) − f(x − n)| + |f(x − n)| nε + M
∣ ∣∣∣ f(x)
x ∣ M x + nε
x M x + ε,
M
c) Puisque lim
x→+∞ x = 0, il existe B tel que M x
f(x)
On conclut que lim
x→+∞ x = 0.
∀x max(A,B)
ε pour tout x B. On a alors
∣
f(x)
x
∣ 2ε.
2. On suppose que lim (f(x + 1) − f(x)) = l. On considère la fonction g définie par
x→+∞
g(x) = f(x) − lx. Comme f, g est bornée sur tout intervalle de longueur 1, et on a
lim ((g(x + 1) − g(x)) = lim (f(x + 1 − f(x) − l) = 0.
x→+∞ x→+∞