Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 22.15
Pour x > 0, on fait le changement de variable u = tx. On obtient
f(x) =
∫ x
0
( u
x
) α 1 sin u
x du = 1 ∫ x
x α+1
0
u α sin udu.
La fonction f est dérivable sur ]0,+∞[ comme produit de fonctions dérivables, la deuxième
étant une primitive de x ↦−→ x α sin x, et
f ′ (x) = − α + 1 ∫ x
x α+2 u α sin udu + 1
x α+1 xα sin(x) = − α + 1 sin x
f(x) +
x x .
On obtient donc, pour x > 0,
0
xf ′ (x) + (α + 1)f(x) = sin x.
Exercice 22.16
En utilisant les formules de trigonométrie et la linéarité de l’intégrale, on obtient, pour tout
réel x,
ϕ(x) = 1 ω
∫ x
0
= sin(ωx)
ω
(sin(ωx)cos(ωt) − cos(ωx)sin(ωt))f(t)dt
∫ x
0
cos(ωt)f(t)dt − cos(ωx)
ω
∫ x
0
sin(ωt)f(t)dt.
On voit sur cette expression que ϕ est dérivable sur R, car somme de produits de fonctions
dérivables, et
ϕ ′ (x) = cos(ωx)
+sin(ωx)
= cos(ωx)
De nouveau ϕ ′ est dérivable et
∫ x
0
∫ x
0
∫ x
ϕ ′′ (x) = −ω sin(ωx)
0
+ω cos(ωx)
cos(ωt)f(t)dt + sin(ωx) cos(ωx)f(x)
ω
sin(ωt)f(t)dt − cos(ωx) sin(ωx)f(x)
ω
cos(ωt)f(t)dt + sin(ωt)
∫ x
0
∫ x
= −ω 2 ϕ(x) + f(x).
La fonction ϕ vérifie l’équation différentielle
0
∫ x
0
sin(ωt)f(t)dt.
cos(ωt)f(t)dt + cos 2 (ωx)f(x)
sin(ωt)f(t)dt + sin 2 (ωx)f(x)
ϕ ′′ + ω 2 ϕ = f.