Corrigé des exercices - Dunod

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Z(Ω) = [1,n]. Soit k un entier de [1,n]
P(Z = k) =
k∑
j=1 i=1
j∑
P(X = i,Y = j,Z = k)
k−1
∑
= P(X = k,Y = k,Z = k) + P(X = i,Y = i,Z = k)
k−1
+
i=1
∑
k−1
∑ ∑j−1
P(X = i,Y = k,Z = k) + P(X = i,Y = j,Z = k)
i=1
j=1 i=1
= 1 n 3 + 2(k − 1) 3 (k − 1)(k − 2) 6
+
n3 2
= 3k2 − 3k + 1
n 3
Comme X, Y et Z sont des variables aléatoires réelles discrètes finies, X, Y et Z admettent
une espérance.
E(X) =
n∑
i=1
i 3n2 + 3n + 1 − 3(2n + 1)i + 3i 2
n 3
= 1 n 3 (
(3n 2 + 3n + 1)
=
E(Y ) =
(n + 1)2
4n
n∑
j=1
n(n + 1)
2
−2 − 3n + 6(n + 1)j − 6j2
j
n 3
= 1 ( n(n + 1)
(−2 − 3n)
n 3 2
= n + 1
2
E(Z) =
n∑
k=1
k 3k2 − 3k + 1
n 3
= 1 ( n 2 (n + 1) 2
3
n 3 4
(n + 1)(3n − 1)
=
4n
n 3
n(n + 1)(2n + 1)
− 3(2n + 1)
6
n(n + 1)(2n + 1)
+ 6(n + 1)
6
n(n + 1)(2n + 1)
− 3 +
6
On vérifiera que E(X) + E(Y ) + E(Z) = E(X 1 ) + E(X 2 ) + E(X 3 ).
Exercice 31.11
1. Y (Ω) = [1,n]. Soit k un entier de [1,n].
+ 3 n2 (n + 1) 2 )
4
− 6 n2 (n + 1) 2 )
4
n(n + 1) )
2