Corrigé des exercices - Dunod

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puis
1
x −1+ln x = exp
(−h − 1 2 h2 − 1 )
3 h3 + o(h 3 )
= 1 − h − 1 2 h2 − 1 3 h3 + 1 2
= 1 − h + o(h 3 ) = 1 − (x − 1) + o ( (x − 1) 3) .
(
−h − 1 2 h2 − 1 ) 2
3 h3 + 1 (
−h − 1 6 2 h2 − 1 ) 3
3 h3 + o(h 3 )
Exercice 24.3
1. Comme sin x − x tend vers 0, on peut écrire
e sin x − e x
sin x − tan x = ex esin x−x − 1
sin x − tan x ∼ sin x − x
x→0 sinx − tan x
∼
x→0
− 1 6 x3
x − 1 6 x3 − x − 1 3 x3 + o(x 3 )
∼
x→0
1
3
et donc
2. On a, au voisinage de 0,
lim
x→0
e sin x − e x
sinx − tan x = 1 3 .
et donc
cot x − 1 x = x − tan x
xtan x
− 1 3
∼
x3
x→0 x 2
lim cot x − 1
x→0 x = 0.
∼ − 1
x→0 3 x
3. Comme cos ax et cos bx tendent vers 0, on obtient
ln cos ax
ln cos bx ∼ cos ax − 1
x→0 cos bx − 1 ∼ − 1 2 (ax)2
x→0 − 1 2 (bx)2
et donc
ln cos ax
lim
x→0 ln cos bx = a2
b 2 .
Exercice 24.4
1. On a, quand h tend vers 0
( ( )) 1
tan π
2 + h 1
= ( π
) ∼ − 2
−tan
2 h h→0 πh .
On en déduit
lim (2x 2 − 3x + 1)tan πx = lim − 2 2x 2 − 3x + 1
x→ 1 2
x→ 1 π x − 1 = lim − 2
2 2
x→ 1 π (2x − 2) = 2 π .
2