Corrigé des exercices - Dunod

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5. Il s’agit de séries à termes positifs. On remarque que
u n = (√ x) 2n
.
(2n)!
Il s’agit donc de la suite des termes d’indice pair de la série de terme général (√ x) n
. Ses
n!
+∞∑ ( √ x) n
sommes partielles sont donc majorées par = e √x . Donc la série de terme général
n!
n=0
u n converge.
On observe de même que
v n = (√ x) 2n
(2n + 1)! = 1 √ x
( √ x) 2n+1
(2n + 1)! .
On fait le même raisonnement pour les termes d’indice impair pour conclure que la série de
terme général v n converge. Pour calculer les sommes, on écrit, pour x > 0,
e x =
+∞∑
n=0
x n
n!
et e −x =
En additionnant ou soustrayant, on en déduit
+∞∑
n=0
(−1) n x n
.
n!
+∞∑
n=0
On obtient finalement
+∞∑
n=0
x 2n
(2n)! = 1 2 (ex + e −x ) et
u n = 1 2 (e√x + e −√x ) et
+∞∑
n=0
+∞∑
n=0
x 2n+1
(2n + 1)! = 1 2 (ex − e −x ).
v n = 1
2 √ x (e√x − e −√x ).
Exercice 25.3
1. L’inégalité découle directement de la décroissance de la suite (u n ) n∈N : on a n termes,
tous supérieurs ou égaux à u 2n . En notant S n la somme partielle d’indice n de la série, on
obtient
0 2nu 2n 2(S 2n − S n ).
La série ∑ u n converge donc la suite (S n ) n∈N converge. Si on note S sa limite, on a
lim
n→+∞ 2(S 2n − S n ) = 2(S − S) = 0 et par encadrement
Comme, pour n 1,
lim 2nu 2n = 0.
n→+∞
0 (2n + 1)u 2n+1 (2n + 1)u 2n 4nu 2n ,
on en déduit que lim (2n + 1)u 2n+1 = 0. Les suites (2nu 2n ) n∈N et ((2n + 1)u 2n+1 ) n∈N
n→+∞
convergent vers 0 ; il en est de même de la suite (nu n ) n∈N .