Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 19.20
1. L’application f vérifie f ◦ f = Id R . Elle est donc bijective et f −1 = f. A fortiori, elle
est injective et comme elle est continue, elle est strictement monotone, d’après l’exercice
précédent.
2. Supposons que f est strictement croissante et montrons que f = Id R en raisonnant par
l’absurde, donc en supposant qu’il existe x tel que f(x) ≠ x.
Si f(x) < x, alors f(f(x)) < f(x), soit x < f(x). On démontre de même que, si f(x) > x,
alors x > f(x). On aboutit à une contradiction , donc f = Id R .
3. En utilisant la décroissance de f et f(0) = 0, on obtient, pour tout réel x,
x 0 =⇒ f(x) 0 et x > 0 =⇒ f(x) < 0.
On a donc f(R − ) ⊂ R + . Comme f est bijective, tout x 0 a un antécédent, qui ne peut
être que négatif, donc finalement f(R − ) = R + et comme f est injective, la restriction g de
f à R − réalise une bijection de R − sur R + .
On a, pour tout x 0, x = f(f(x)) = g(f(x)), car f(x) 0, donc f(x) = g −1 (x) : la
restriction de f à R + est g −1 .
4. Si g est une bijection continue de R − sur R + telle que g(0) = 0, on considère la fonction
f définie sur R par
f(x) = g(x) si x 0 et f(x) = g −1 (x) si x 0.
Cette définition est raisonnable car g(0) = g −1 (0) = 0. La fonction f est continue sur R +
et R − , car g et g −1 sont continues ; on a, de plus, lim f(x) = lim f(x) = 0, donc f est
x→0− x→0 +
continue sur R. On a, pour x 0, f ◦ f(x) = f(g(x) = g −1 (g(x) = x et de même, pour
x 0, on obtient f ◦ f(x) = g −1 (g(x)) = x. La fonction f a les propriétés voulues.
Exercice 19.21
Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe f application continue telle que
f ◦ f = −Id R .
L’application f est injective, car pour (x,y) ∈ R 2 ,
f(x) = f(y) =⇒ f ◦ f(x) = f ◦ f(y) =⇒ x = y.
Comme f est continue, elle est, d’après l’exercice 19, strictement monotone. Mais la composée
de deux fonctions croissantes ou de deux fonctions décroissantes est une fonction croissante.
On doit avoir −Id R croissante ; c’est absurde. Il ne peut pas exister une telle fonction f.
Exercice 19.22
La fonction f est dérivable sur R et on vérifie que
f ′ (x) =
1
(x + 1) 2 > 0 si x 0 et f ′ 1
(x) = > 0 si x 0.
(−x + 1)
2
La fonction est strictement croissante sur R et continue, donc elle réalise une bijection de R
sur ] lim f, lim f[ = ] − 1,1[.
−∞ +∞