Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 29.24
1. a) p 0 = 1 et p N = 0.
b) Notons G A l’événement «le joueur A gagne la première partie» et R A,k l’événement «le
joueur A finit par être ruiné en possèdant au départ une somme k».
(G A ,G A ) forme un sytème complet d’événements, et d’après la formule des probabilités
totales, P(R A,k ) = P GA (R A,k )P(G A ) + P GA
(R A,k )P(G A ).
Or P GA (R A,k ) = P(R A,k+1 ) et P GA
(R A,k ) = P(R A,k−1 ).
Donc p k = pp k+1 + qp k−1 .
c) Alors la suite (p k ) est une suite récurrente linéaire double de polynôme carctéristique
pX 2 − X + q dont les racines sont q p
et 1.
(
Donc il existe deux réels α et β tels que p k = α + β q k.
p)
Or p 0 = 1 et p N = 0.
) N ( k
−
q
p)
(
q
p
Donc p k =
(
q
p) N
− 1
.
2. Si B est infiniment riche, alors N tend vers +∞.
Si q p > 1 c’est-à-dire p < 1 2 alors lim ( p) q N −( p) q k
= 1.
N→+∞ ( p) q N −1
(
Et si q p < 1 c’est-à-dire p > 1 2 alors lim ( p) q N −( p) q k
= q k.
N→+∞ ( p) q N −1 p)
3. D’après la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements
(G A ,G A ),
⎧
⎪⎨ P n,i = pP n−1,i+1 + qP n−1,i−1 si 1 i N − 1
P n,i = 1
si i = N .
⎪⎩
P n,i = 0 si i = 0
Exercice 29.25
P 7,3 = pP 6,4 + qP 6,2
= p 2 P 5,5 + 2pqP 5,3 + q 2 P 5,1
= p 2 + 2p 2 qP 4,4 + 3pq 2 P 4,2 + q 3 P 4,1
= p 2 + 2p 2 qP 3,5 + 5p 2 q 2 P 3,3 + 4pq 3 P 3,1 + q 4 P 3,0
= p 2 + 2p 2 q + 5p 3 q 2 P 2,4 + 9p 2 q 3 P 2,2 + 4pq 4 P 2,0
= p 2 + 2p 2 q + 5p 4 q 2 P 1,5 + 14p 3 q 3 P 1,3 + 9p 2 q 4 P 1,1
= p 2 + 2p 2 q + 5p 4 q 2
1. Si le jeu n’est pas terminé après le n ième lancer, alors le joueur n’a tiré que des boules
rouges lors des n premiers tirages. Comme la boule rouge est remise dans l’urne, les tirages
sont indépendants.
Notons C n l’événement «le jeu n’est pas terminé après le n ième lancer».
(
P(C n ) =
r
b + n + r
) n
.