Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 15.4
On a
Si a > b, on a
lim
n→+∞
lim
n→+∞
n 2 + n − 1
n 2 − ncos n = lim 1 + 1 n − 1 n 2
n→+∞ 1 − cos n
(−1) n + n
(−1) n + 2n = lim
n→+∞
lim n − √ n 2 + (−1) n = lim
n→+∞ n→+∞
lim
n→+∞
2 n − 3 n
2 n = lim
+ 3n+1 n→+∞
n
= 1,
(−1) n
n
+ 1
(−1) n
n
+ 2 = 1 2 ,
−(−1) n
n + √ n 2 + (−1) = 0, n
( 2
) n
3 − 1
( 2 n = −
3) 1 + 3 3 .
) n
a n − b n
lim
n→+∞ a b + b n = lim 1 − ( b
a
n→+∞ 1 + ( )
b n = 1 ;
a
si a < b, on trouve de même que la limite est −1 ; pour a = b, on obtient la suite nulle qui
converge vers 0.
Exercice 15.5
Soit ε > 0 et n 0 ∈ N tel que, pour n n 0 , on ait |u n v n − 1| ε. On a alors pour n n 0 ,
1 − ε u n v n u n 1 1 + ε,
ce qui montre que (u n ) n∈N tend vers 1. La démonstration est la même pour (v n ) n∈N .
Exercice 15.6
1. On note l et l ′ les limites respectives des suites s et p. Pour tout entier n, u n et v n sont
les solutions de l’équation
x 2 − s n x + p n = 0.
Comme u n v n , on en déduit que
u n = 1 2 (s n − √ s 2 n − 4p n ) et v n = 1 2 (s n + √ s 2 n − 4p n ).
Puisque s 2 n − 4p n 0 pour tout entier n, on obtient en passant à la limite l 2 − 4l ′ 0. On
en déduit que
lim u n = 1
n→+∞ 2 (l + √ l 2 − 4l ′ ) et
lim v n = 1
n→+∞ 2 (l − √ l 2 − 4l ′ ).
2. Le résultat ne subsiste pas si on enlève l’hypothèse u n v n pour tout n. Si u n = (−1) n et
v n = (−1) n+1 , on a s n = 0 et p n = −1. Les suites s et p sont constantes donc convergentes,
mais u et v ne convergent pas.