Corrigé des exercices - Dunod

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X 1 et X 2 sont des variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre
1
9 .
Y = max(X 1 ,X 2 ). Y (Ω) = [1,+∞[
Pour tout entier k non nul, P(Y k) = P(X 1 k,X 2 k) =
(
1 − ( 8
9) k
) 2.
Or P(Y = k) = P(Y k) − P(Y k − 1).
(
Donc pour tout entier k non nul, P(Y = k) = 2 8
) k−1 (
9 9 −
17 8
) 2k−2.
81 9
2. S = 10(X 1 + X 2 ).
Déterminons la loi de X 1 + X 2 . (X 1 + X 2 )(Ω) = [2,+∞[.
Pour tout entier k de [2,+∞[, P(X 1 + X 2 = k) = +∞ ∑
P(X 1 = k − i,X 2 = i).
Or si i k, alors P(X 1 = k − i) = 0.
Donc P(X 1 + X 2 = k) = k−1 ∑ ( 1
) 2 ( 8
) k−2 (
9 9 = (k − 1) 1
) 2 ( 8
9 9
i=1
i=1
) k−2.
Ainsi pour tout entier k de [2,+∞[, P(S = 10k) = (k − 1) ( 1 2 ( 8 k−2.
9)
9)
Comme X 1 et X 2 sont des variables aléatoires indépendantes aui admettent une variance,
S admet une espérance et une variance.
E(S) = 10(E(X 1 ) + E(X 2 )) et V (S) = 100(V (X 1 ) + V (X 2 )).
Donc E(S) = 180 et V (S) = 14400.
La probabilité que les deux joueurs versent la même somme est la probabilité que X 1 = X 2 .
P(X 1 = X 2 ) = +∞ ∑
P(X 1 = i,X 2 = i) = +∞ ∑
P(X 1 = i)P(X 2 = i).
i=1
Ainsi P(X 1 = X 2 ) = 1
Exercice 31.28
17 .
i=1
1. Y n suit une loi de Bernoulli de paramètre P(X n X n+1 = 1).
Or P(X n X n+1 = 1) = P(X n = 1,X n+1 = 1) = p 2 .
Ainsi Y n suit une loi de Bernoulli de paramètre p 2 . Y n admet une espérance et une variance.
E(Y n ) = p 2 et V (Y n ) = p 2 (1 − p 2 ).
2.
P [Yn−1=1]∩[Y n−2=0](Y n = 0) = P([Y n = 0] ∩ [Y n−1 = 1] ∩ [Y n−2 = 0])
P([Y n−1 = 1] ∩ [Y n−2 = 0])
= P(X n+1 = 0,X n = 1,X n−1 = 1,X n−2 = 0)
P(X n = 1,X n−1 = 1,X n−2 = 0)
= p
3. P(Y i Y j = 1) = P(X i = 1,X i+1 = 1,X j = 1,X j+1 = 1).
Si i j + 2 ou i j − 2, alors P(Y i Y j = 1) = p 4 .
Si i = j + 1 ou i = j − 1, alors P(Y i Y j = 1) = p 3 .
Si i = j, alors P(Y i Y j = 1) = p 2 .
⎧
⎪⎨ p 4 si i j + 2 ou i j − 2
Alors Y i Y j suit une loi de Bernoulli de paramètre p
⎪⎩
3 si i = j + 1 ou i = j − 1
p 2 si i = j