Corrigé des exercices - Dunod

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4. Au rang 1, un endomorphisme nilpotent d’un espace de dimension 1 est nécessairement
nul. Donc sa matrice est triangulaire supérieure stricte. Supposons l’hypothèse vérifiée au
rang n − 1. Soit u un endomorphisme nilpotent d’un espace de dimension n. D’après ce qui
précède il existe un hyperplan H tel que Im(u) ⊂ H. Soit v = u |H l’endomorphisme de H
induit par u. v est lui même nilpotent. D’après l’hypothèse de récurrence il existe une base
(e 1 ,e 2 ,...,e n−1 ) de H telle que la matrice de v dans cette base soit triangulaire supérieure
stricte :
⎛
⎞
0 a 1,2 ... ... a 1,n−1
0 0 a 2,3 ... a 2,n−1
. . .. . ..
. ⎜
⎝
. ⎟
.
.. an−2,n−1 ⎠
0 ... ... ... 0
En complétant cette famille libre de E à l’aide d’un vecteur e n pour en faire une base B de
n−1
∑
E, comme u(e n ) ∈ H, u(e n ) est de la forme u(e n ) = a k,n e k . Dans cette base de E, la
matrice de u est donc :
⎛
⎞
0 a 12 ... ... a 1n
0 0 a 23 ... a 2n
M B (u) =
. . .. . ..
. ..
⎜
⎝
. ⎟
. .. an−1,n ⎠
0 ... ... ... 0
k=1
Exercice 12.9
1. Soit A ∈ M n (K). Supposons avoir trouvé deux matrices B ∈ S n (K) et C = A n (K) telles
que A = B + C. Alors t A = t (B + C) = t B + t C = B − C. On en déduit par demi-somme
et demi-différence qu’on a nécessairement B = A + t A
l’écriture existe, elle est unique.
De plus si l’on pose B = A + t A
2
2
et C = A − t A
. Autrement dit si
2
et C = A − t A
, on a alors
2
( A + t B = t t )
A
= 1 ( t
A + t ( t A) ) = 1 ( t
A + A ) = B
( 2 2
2
A − t C = t t )
A
= 1 ( t
A − t ( t A) ) = 1 ( t
A − A ) = −C
2 2
2
c’est-à-dire que B ∈ S n (K), C ∈ A n (K) et
B + C = A + t A
2
On en conclut que M n (K) = S n (K) ⊕ A n (K).
+ A − t A
2
= A