Corrigé des exercices - Dunod

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b) On a donc
M = (a − c)PIP −1 + bPDP −1 + cPD 2 P −1
= P((a − c)I + bD + cD 2 )P −1
= P∆P −1
où
⎛
∆ = ⎝
a − √ 2b + c 0 0
0 0 0
0 0 a + √ 2b + c
⎞
⎠
Exercice 14.12
Calcul des puissances de A
1. Soit λ ∈ R, on triangule A − λI 3 ,
⎛
3 − λ −2 3
⎞ ⎛
⎝ 1 −λ 2 ⎠ → ⎝
0 0 2 − λ
⎛
→ A(λ) = ⎝
1 −λ 2
0 −λ 2 + 3λ − 2 2λ − 3
0 0 2 − λ
1 −λ 2
3 − λ −2 3
0 0 2 − λ
⎞
⎞
⎠
L 1 ↔ L 2
⎠ L 2 ← L 2 + (λ − 3)L 1
Donc λ est valeur propre de A si et seulement si λ 2 − 3λ + 2 = 0 ou λ = 2. Les racines du
trinôme sont 1 et 2. A possède deux valeurs propres λ 1 = 1 et λ 2 = 2.
2. 0 n’étant pas valeur propre de A, A est inversible.
3. Une équation de E 1 est
⎛ ⎞ ⎧
x ⎨
A(1) ⎝ y ⎠ = 0 ⇔
⎩
z
x − y + 2z = 0
−z = 0
z = 0
⇔
{
x = y
z = 0
Donc E 1 = Vect((1,1,0)). Ce vecteur étant non nul, c’est bien une base de E 1 , et
dim(E 1 ) = 1.
Une équation de E 2 est
⎛
A(2) ⎝
x
y
z
⎞
⎠ = 0 ⇔
{ {
x − 2y + 2z = 0 x = 2y
z = 0 ⇔ z = 0
Donc E 2 = Vect((2,1,0)). Ce vecteur étant non nul, c’est bien une base de E 2 , et
dim(E 2 ) = 1.
4. La somme des dimensions des sous-espaces propres étant égale à 2, elle n’est pas égale à
la dimension de R 3 qui est 3. f n’est donc pas diagonalisable.
5. D’après E 1 = Vect((1,1,0)), on trouve −→ u 1 = (1,1,0).
6. On sait de même que E 2 = Vect((2,1,0)), on trouve donc −→ u 2 = (2,1,0).