Corrigé des exercices - Dunod

256
3. On applique la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre 2 entre 0 et x 0, à la fonction
t ↦−→ 3√ 1 + t qui est C ∞ sur R + .
On obtient, pour t 0,
f ′ (t) = 1 3 (1 + t)− 2 3 , f ′′ (t) = − 2 9 (1 + t)− 5 3 , f (3) (t) = 10
27 (1 + t)− 8 3
et en particulier f(0) = 1, f ′ (0) = 1 3 , f ′′ (0) = − 2 . Il existe c ∈ [0,x] tel que
9
√
3
1 + x3 = 1 + x 3 − x2
9 + x3
3! · 10
27 (1 + c)− 8 3 .
Comme c 0, on a 0 (1 + c) − 8 3 1 et donc l’encadrement
0 3√ 1 + x − 1 − x 3 + x2
9 10x3
6 · 27 5x3
81 .
Exercice 23.2
La fonction f : x ↦−→ ln(1 + x) est C ∞ sur R + . On a, pour tout x 0, f ′ (x) = 1
1 + x
montre facilement par récurrence que, pour x 0 et n ∈ N ∗ ,
et on
f (n) (x) =
(n − 1)!(−1)n−1
(1 + x) n .
On applique l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre n entre 0 et 1. On a f(1) = ln 2 et
n∑ 1
n∑ (−1) k−1 (k − 1)!
n∑ (−1) k−1
k! f(k) (0) =
= = u n .
k!
k
k=0
k=1
Comme |f n+1 | n! sur R + pour tout n ∈ N ∗ , on obtient
d’où l’on déduit que
Exercice 23.3
k=0
|ln 2 − u n |
k=1
n!
(n + 1)! 1
n + 1 ,
lim u n = ln 2.
n→+∞
1. On applique la formule de Taylor-Lagrange à la fonction exp à l’ordre n entre 0 et le réel
x. On a
n∑ x k
n∑ x k
k! exp(k) (0) =
k! = u n(x).
Il existe c entre 0 et x tel que
k=0
e x = u n (x) + xn+1
(n + 1)! ec .
Si x 0, on a xn+1
(n + 1) ec 0 et donc u n (x) e x pour tout x.
x n+1
Si x 0, on a
(n + 1) ec 0 et donc u n (x) e x si n + 1 est pair et donc n impair et
u n (x) e x si n est pair.