Corrigé des exercices - Dunod

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On applique de nouveau le résultat de la question 1. La série de terme général v n est à
termes strictement positifs et divergente car v n ∼ 1 n . De v n ∼ ln(n + 1) − lnn, on déduit
n−1
∑
n−1
∑
n−1
∑
(u k − 1) = v k ∼ (ln(k + 1) − lnk)
k=1
k=1 k=1
et donc
1
x n
− 1 x 1
− n ∼ lnn.
Comme 1
x n
− n tend vers +∞,
1
est négligeable et 1 − n ∼ lnn.
x 1 x n
Cela peut s’écrire 1
x n
− n = lnn + o(lnn) et donc 1
x n
= n + lnn + o(lnn). On en déduit
x n =
1
n + lnn + o(lnn) = 1 n ·
1 + ln n
n
1
+ o( ).
ln n
n
Comme lnn
n
tend vers 0, on obtient
x n = 1 (
n · 1 − lnn ( )) lnn
n + o = 1 n n − lnn ( ) lnn
n 2 + o n 2 .
Exercice 25.25
1. Soit n un entier naturel. On note
On remarque que
W n =
n∑
w k =
k=0
I n = {(i,j) ∈ N 2 , i + j n}, J n = [[0,n]] 2 .
n∑
k=0 i=0
k∑
u i v k−i =
U n V n =
∑
(i,j)∈I n
u i v j et donc W 2n =
n∑ ∑ n
u i v j =
i=0
j=0
∑
(i,j)∈J n
u i v j .
∑
(i,j)∈I 2n
u i v j ,
Comme I n ⊂ J n ⊂ I 2n et que les suites (u n ) n∈N et (v n ) n∈N sont à termes positifs, on en
déduit que
W n U n V n W 2n .
2. Les séries sont à termes positifs. Si les séries ∑ u n et ∑ v n convergent, leurs sommes
partielles sont majorées respectivement par U et V et on a, pour tout entier n, W n UV . La
série ∑ w n est à termes positifs et ses sommes partielles sont majorées, donc elle converge.
Par passage à la limite dans les inégalités précédentes, on obtient
W UV W et donc W = UV.