Corrigé des exercices - Dunod

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4. Les triplets u = (1,0,1) et v = (1,0, −1) appartiennent à D. Or u + v = (2,0,0) et
2 2 + 0 2 − 0 2 ≠ 0, donc u + v /∈ D. D n’est pas un sous-espace de R 3 .
Exercice 9.4
Tout d’abord ces quatre ensembles sont bien des sous-ensembles de K N .
1. A est non vide puisqu’il contient la suite nulle.
Soient (u n ),(v n ) deux suites de A et λ,µ deux scalaires. Posons (w n ) = λ(u n )+µ(v n ). Cette
suite vérifie pour tout n ∈ N,
w 4n = λu 4n + µv 4n
= λ(u n+1 + 5u n ) + µ(v n+1 + 5v n )
= λu n+1 + µu n+1 + 5(λu n + µv n )
= w n+1 + 5w n
et donc (w n ) ∈ A. A est un sous-espace vectoriel de K N .
2. B est non vide puisqu’il contient la suite nulle.
Soient (u n ),(v n ) deux suites de B et λ,µ deux scalaires. Posons (w n ) = λ(u n )+µ(v n ). Cette
suite vérifie
w 4 = λu 4 + µv 4 = 0
et
w 10 = λu 10 + µv 10 = 0
Donc (w n ) ∈ B. B est un sous-espace vectoriel de K N .
3. La suite nulle ne vérifie pas l’équation qui définit C. C n’est pas un sous-espace vectoriel
de K N .
4. D est non vide puisqu’il contient la suite nulle.
Soient (u n ),(v n ) deux suites de D et λ,µ deux scalaires. Posons (w n ) = λ(u n ) + µ(v n ). On
sait alors que (w n ) converge et que
lim w n = λ0 + µ0 = 0
n→+∞
et donc (w n ) ∈ D. D est un sous-espace vectoriel de K N .
Exercice 9.5
Soit a,b,c trois réels tels que a(5, −2, −3) + b(4,1, −3) + c(−2, −7,3) = 0. On résout le
système équivalent
⎧
⎧
⎨
⎨
⎩
5a + 4b − 2c = 0
−2a + b + 3c = 0
−3a − 3b + 3c = 0
⎧
⎨
⇔
⎩
⇔
⎩
5a + 4b − 2c = 0
50c = 0
−3b + 9c = 0
Donc la famille proposée est libre.
5a + 4b − 2c = 0
13b + 11c = 0
−3b + 9c = 0
L 2 ← 5L 2 + 2L 1
L 3 ← 5L 3 + 3L 1
L 2 ← L 2 + 13 3 L 3 ⇔ a = b = c = 0