Corrigé des exercices - Dunod

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3. On obtient cette inégalité en appliquant le résultat de la question 2 aux vecteurs
U = A − B, V = A − C et W = A − D.
Exercice 26.5
1. Posons Ω 1 = {(x,y) ∈ R 2 , x > 0 et y > 0}. C’est un quart de plan.
L’ensemble Ω 1 est ouvert. En effet, considérons (x,y) ∈ Ω 1 et r = min(x,y). Si (u,v)
appartient à la boule ouverte de centre (x,y) et de rayon r, on a |x − u| < r et donc
u > x − r 0 et de même v > 0, donc (u,v) ∈ Ω 1 . Ainsi B((x,y),r) ⊂ Ω 1 .
L’ensemble Ω 1 n’est pas fermé. Le point (0,0) appartient à son complémentaire, mais toute
boule ouverte de centre (0,0) rencontre Ω 1 , donc le complémentaire de Ω 1 n’est pas ouvert.
L’ensemble Ω 1 est convexe. Si (x,y) et (x ′ ,y ′ ) sont dans Ω 1 , on considère λ ∈ ]0,1[ et le
point
(X,Y ) = (1 − λ)(x,y) + λ(x ′ ,y ′ ) = ((1 − λ)x + λx ′ ,(1 − λ)y + λy ′ ).
Alors X et Y sont strictement positifs car sommes de deux nombres strictement positifs (on
peut prendre λ ∈ ]0,1[ car pour λ = 0 ou 1 on trouve les points (x,y) et (x ′ ,y ′ ) et il n’y a
rien à démontrer).
L’ensemble Ω 1 n’est évidemment pas borné, car x 2 + y 2 décrit R ∗ + quand x et y décrivent
R ∗ +.
2. Posons Ω 2 = {(x,y) ∈ R 2 , 1 < |x − 1| 2}. C’est la réunion de deux bandes.
L’ensemble Ω 2 n’est pas ouvert. Pour tout y ∈ R, (3,y) appartient à Ω 2 et, pour tout r > 0,
la boule de centre (3,y) et de rayon r contient le point (3 + r 2 ,y) qui n’appartient pas à Ω 2
∣
car ∣3 + r ∣ ∣∣
2 − 1 r = 2 +
2 > 2.
On montre de la même façon que Ω 2 n’est pas fermé. Pour tout y, le point (0,y) n’appartient
pas à Ω 2 , mais toute boule ouverte de centre (0,y) et de rayon r contient le point (− r 2 ,y)
qui appartient à Ω 2 .
L’ensemble Ω 2 n’est pas convexe. Il contient les points (−1,0) et (3,0) mais le point
1
2 (−1,0) + 1 2 (3,0) = (1,0) n’appartient pas à Ω 2.
L’ensemble Ω 2 n’est pas borné, car y est quelconque.
3. Posons Ω 3 = {(x,y) ∈ R 2 , x 0, y 0, 2x + 3y 5}. C’est l’intérieur d’un triangle.
L’ensemble Ω 3 n’est pas ouvert. En effet, il contient le point (0,0), mais toute boule fermé
de centre (0,0) contient des points d’abscisse ou d’ordonnée négative qui n’appartiennent
pas à Ω 3 .
L’ensemble Ω 3 est fermé. Soit (x,y) un point qui appartient au complémentaire de Ω 3 . L’une
des trois conditions au moins n’est pas vérifiée. Supposons par exemple que x > 0. Si le point
(u,v) appartient à la boule ouverte de centre (x,y) et de rayon x, on a |x − u| < x et donc
u > 0. Cette boule est donc incluse dans le complémentaire de Ω 3 qui est ouvert.
L’ensemble Ω 3 est convexe. Soient (x,y) et (x ′ ,y ′ ) dans Ω 3 , λ ∈ [0,1] et
(X,Y ) = (1 − λ)(x,y) + λ(x ′ ,y ′ ) = ((1 − λ)x + λx ′ ,(1 − λ)y + λy ′ ).
Les réels X et Y sont positifs comme sommes de termes positifs et
2X + 3Y = 2((1 − λ)x + λx ′ + 3((1 − λ)y + λy ′ )
= (1 − λ)(2x + 3y) + λ(2x ′ + 3y ′ )
5(1 − λ) + 5λ 5