Corrigé des exercices - Dunod

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2. Soit f définie sur
]
0, π [
par f(x) = sin x
2
x . On a
f ′ (x) =
xcos x − sin x cos x(x − tan x)
x 2 =
x 2 .
Une étude de fonction facile montre que tanx − x > 0 sur ]0, π 2 [. On en déduit que f ′ < 0.
On a donc , pour 0 < a < b < π 2 ,
sin a
a
> sin b
b
et
a
b < sina
sinb .
D’autre part, la fonction g : x ↦−→ f(a) − π f(x) est strictement croissante. Or
2
( π
)
g = f(a) − 1 = f(a) − lim f(x) < 0,
2 x→0
car f décroît. La fonction g est donc négative. D’où l’on déduit
f(a) < π sin a
f(b) et
2 sin b < a π
b 2 .
Exercice 20.24
1. D’après l’inégalité des accroissements finis, pour tout x > 0, on peut trouver c ∈ ]x,x+1[
tel que ln(x + 1) − lnx = 1 c . Comme la fonction x ↦−→ 1 décroît, on dispose des inégalités
x
1
x + 1 < 1 c < 1 dont découle le résultat demandé.
x
2. Pour n 1, on utilise le résultat de la question 1 pour x = n, n + 1, . . . , kn − 1. On
obtient
kn−1
∑
kn−1
1
p + 1 < ∑
kn−1
∑ 1
(ln(p + 1) − lnp) <
p ,
p=n
p=n
p=n
u n < ln(kn) − lnn < u n + 1 n − 1
kn ,
lnk − 1 n + 1
kn < u n < lnk.
On en déduit par encadrement lim
n→+∞ u n = lnk.
Exercice 20.25
La fonction f : x ↦−→ 12x 4 − 14x 3 − 3x 2 − 5 a pour dérivée f ′ telle que
f ′ (x) = 48x 3 − 42x 2 − 6x = 6x(8x 2 − 7x − 1) = 6x(x − 1)(8x + 1).
Sur ]0,+∞[, f ′ (x) a le signe de x − 1 : f décroît sur [0,1] et croît sur [1,+∞[. Comme
f(0) < 0 et lim
+∞
f = +∞, f s’annule une seule fois sur R + entre 1 et +∞.