Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 31.5
P(Z X + Y ) =
=
=
=
+∞∑
k=1
+∞∑
k=1
+∞∑
k=1
+∞∑
i=2
P(Z = k,k X + Y )
P(Z = k)P(k X + Y )
∑+∞ p(1 − p) k−1 (i − 1)p 2 (1 − p) i−2
i=k
i∑
(i − 1)p 3 (1 − p) i−3 (1 − p) k
k=1
∑+∞ = p 3 i−2 1 − (1 − p)i
(i − 1)(1 − p)
p
i=2
( ) 2 1 − p
= 1 −
2 − p
1. a) X(Ω) = [0,n]. Pour tout couple (k,i) de [0,n] 2 , P(Z = k,X = i) = P Z=k (X = i)P(Z = k).
{
1
pour tout couple (k,i) de , P(Z = k,X = i) =
k+1P(Z = k) si 0 i k
0 sinon
∑
b) Pour tout entier i de [0,n], P(X = i) = n ∑
P Z=k (X = i)P(Z = k) = n
c) Comme X est une variable aléatoire finie, X admet une espérance.
E(X) =
=
=
=
k=0
n∑
iP(X = i)
i=0
n∑
n∑
i=0 k=i
n∑
k∑
k=0 i=0
n∑
k=0
= E(Z)
2
i
P(Z = k)
k + 1
i
P(Z = k)
k + 1
k
P(Z = k)
2
2. Remarquons que X Z. Alors (Z − X)(Ω) = [0,n].
Pour tout entier k de [0,n]
P(Z − X = k) =
n∑
P(Z = i)P(X = i − k/Z = i) =
i=0
n∑
i=k
k=i
1
k+1P(Z = k).
1
P(Z = i) = P(X = k).
i + 1