Corrigé des exercices - Dunod

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L’ensemble A est majoré par 1. Comme de plus 1 appartient à A (il est obtenu pour
m = n = 1), c’est le plus grand élément et donc la borne supérieure de A. Mais on a
aussi
1
m + 1 n − 1
mn = 1 m + 1 (
1 − 1 )
0.
n m
L’ensemble A est minoré par 0. Montrons que 0 est la borne inférieure de A. Considérons les
éléments de A de la forme x n = 2 n − 1 (cas m = n). On a
n2 lim x n = 0. Donc pour tout
n→+∞
ε > 0, il existe n ∈ N 2 tel que 0 x n ε. Ceci caractérise la borne inférieure. On conclut :
inf A = 0.
Considérons les éléments de B en distinguant les cas n pair et n impair. On a, pour tout
(m,p) ∈ (N ∗ ) 2 ,
0 < 1
2p + 1 m 1 2 + 1 3 2 ,
−1 − 1 m < 1
2p − 1 − 1 m 1
2p − 1 1.
L’ensemble B est donc majoré par 3 2 et comme 3 appartient à B (il correspond à m = 1,
2
n = 2), c’est le plus grand élément et donc la borne supérieure de B.
L’ensemble B est minoré par −1. Montrons que c’est sa borne inférieure. Considérons les
éléments y p = 1 − 1 de B (n = 2p − 1, m = 1). On a lim
2p − 1 y p = −1. Par définition de
p→+∞
la limite, pour tout ε > 0, il existe p ∈ N ∗ tel que y p −1+ε. Ceci montre que inf B = −1.
Exercice 15.35
1. Soit K et K ′ tels que, pour tout x ∈ A (respectivement tout y ∈ B), on a |x| K
(respectivement |y| K ′ ). On a alors, pour tout (x,y) ∈ A × B,
| − x| K, |a + x| K + |a| et |x + y| K + K ′ .
Ainsi −A, a + A et A + B sont bornés.
2. Pour tout x ∈ A, on inf A x et donc −x −inf A. Ceci montre que sup(−A) −inf A.
De même, pour tout x ∈ A, −x sup(−A) donc x −sup(−A), d’où inf A −sup(−A)
et finalement l’égalité sup(−A) = −inf A. On montre de même que inf(−A) = −sup A.
Pour tout x ∈ A, on a a + x a + supA donc sup(a + A) a + supA. De même, pour
tout x ∈ A, on a a + x sup(a + A) et donc x −a + sup(a + A). On en déduit que
supA −a + sup(a + A) et finalement sup(a + A) = a + supA. On montre de même que
inf(a + A) = a + inf(A).
Pour tout (x,y) ∈ A × B, on a x + y supA + supB, d’où sup(A + B) supA + supB.
De même, pour tout (x,y) ∈ A × B, on a x + y sup(A + B) et donc x sup(A + B) − y
et donc supA sup(A + B) − y, c’est-à-dire y sup(A + B) − supA. On en déduit que
supB sup(A+B)−sup A et finalement sup(A+B) = supA+supB. On montre de même
que inf(A + B) = inf A + inf B.
Exercice 15.36
On a, pour tout x ∈ A, x inf A > 0. On en déduit que 1 x 1 . Ainsi B est majoré
inf A
et sup B 1
inf A . De même, pour tout x ∈ A, 1
x ∈ B et 1 supB. On en déduit que
x