Corrigé des exercices - Dunod

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car q + p(1 − q) = 0. On en déduit
(
∑ n
) p
a k b k
k=1
( n
∑
b q i
i=1
) p
n∑
k=1
n∑
a p b
b q i
i=1
et
(
∑ n
) p
a k b k
n∑
a p b
k=1
k=1 i=1
(
∑ n p−1
bi) q .
En élevant les deux membres de l’inégalité à la puissance 1 , on obtient le résultat voulu.
p
Exercice 20.45
1. Soit f : x ↦−→
(
1 − x 1 p
) p.
On obtient, pour tout x ∈ ]0,1[, après simplification
( ) p−1
f ′ (x) = − 1 − x 1 1
p x
p −1 et f ′′ (x) = p − 1 ( ) p−2
1 − x 1 1
p x
p −2 > 0.
p
La fonction f est convexe sur [0,1].
2. On vérifie que
On pose A =
n∑
λ k = 1 et on utilise l’inégalité de convexité
k=1
( n
)
∑
f λ k x k
k=1
n∑
λ k f(x k ).
k=1
n∑ n
a p k , B = ∑
n
b p k et C = ∑
(a k + b k ) p . On alors
k=1
k=1
n∑
λ k x k = A C
k=1
k=1
( n
) ( ) et f ∑
λ k x k = 1 − A 1 p
p
.
C 1 p
k=1
D’autre part,
f(x k ) =
(
1 − a ) p
k b p k
=
a k + b k (a k + b k ) p et
n∑
λ k f(x k ) = B C .
k=1
On obtient donc
(
1 − A 1 p
C 1 p
) p
B C , 1 − A 1 p
C 1 p
B 1 p
, C 1 1 1
C 1 p A
p + B
p .
p