Corrigé des exercices - Dunod

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3. On suppose x > 0. D’après l’indication fournie par l’énoncé,
x
f(x) =
π
2 − arctan 1 .
x
Puisque 1 tend vers 0, on peut utiliser le développement limité de arctan au voisinage de
x
0. On obtient
arctan 1 x = 1 ( ) 1
x + o x 2 ,
puis
et enfin
1
π
2 − arctan 1 = 2 π
x
1
1 − 2
πx + o ( 1
x 2 ) = 2 π
f(x) = 2x π + 4 π 2 + 8 ( ) 1
π 3 x + o .
x
(
1 + 2
πx + 4
π 2 x 2 + o ( 1
x 2 ))
La courbe possède au voisinage de +∞ une asymptote d’équation y = 2x π + 4 . La courbe
π2 est au dessus de son asymptote.
La fonction f étant paire, la courbe possède une asymptote en −∞ d’équation y = − 2x π + 4 π 2 .
La courbe est également au-dessus de son asymptote en −∞.
Exercice 24.16
1. La fonction est définie sur R ∗ et pour x ≠ 0,
2e 1 x
f ′ (x) = ) 2
> 0.
x
(e 2 1 x − 1
La fonction f est croissante sur ] − ∞,0[ et ]0,+∞[.
2. On a lim
x→0 − e 1 x = 0 et donc
lim f(x) = −1.
x→0− De plus quand x tend 0 par valeurs inférieures,
)
f(x) = −1 + 2e 1 x + o
(e 1 x = −1 + o(x),
par croissance comparée. Si on prolonge f par f(0) = −1, la fonction ainsi prolongée est
dérivable à gauche en 0 et f g(0) ′ = 0. À gauche de 0, la courbe de f ainsi prolongée possède
une demi-tangente d’équation y = −1.
On obtient de même lim e 1 x = +∞ et
x→0 + lim f(x) = 1.
x→0 +