Corrigé des exercices - Dunod

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2. Comme ϕ est un endomorphisme d’un espace de dimension finie, il suffit de prouver que
ϕ est injective, et donc que Ker(ϕ) = {0}.
Soit M ∈ M 2 (R) telle que ϕ(M) = 0. On a alors AM = 0. Or la matrice A est inversible
puisque 1 × 4 − 2 × 3 = −2 ≠ 0. On peut donc multiplier la relation à gauche par A −1 pour
obtenir A −1 AM = A0 = 0, soit M = 0.
ϕ est bien bijective.
3. On a
et
ϕ(E 1,1 ) =
ϕ(E 1,2 ) =
D’où la matrice de ϕ
( 1 2
3 4
( 0 1
0 3
) ( 1 0
0 0
)
=
) ( 2 0
, ϕ(E 2,1 ) =
4 0
⎛
⎜
⎝
1 0 2 0
0 1 0 2
3 0 4 0
0 3 0 4
( 1 0
3 0
⎞
⎟
⎠
)
= E 1,1 + 3E 2,1
) ( 0 2
, ϕ(E 2,2 ) =
0 4
)
Exercice 12.13
1. Soient a,b,c ∈ R tels que
∀x ∈ R, a + bsin(x) + ccos(x) = 0
Pour x = 0,x = π ,x = π on trouve les trois équations
2
⎧
⎨
⎩
a + c = 0 (1)
a + b = 0 (2)
a − c = 0 (3)
En effectuant (1) + (3) et (1) − (3), on trouve a = c = b = 0.
La famille (1,sin,cos) est libre, c’est donc une base de E et dim(E) = 3.
2. Soit f ∈ E, il existe trois réels a,b,c tels que pour tout réel x, f(x) = a+bsin(x)+ccos(x).
On a alors
∀x ∈ R, f ′ (x) = bcos(x) − csin(x)
et donc f ′ ∈ E.
3. On calcule les images par ϕ des vecteurs de la base canonique
(1) ′ = 0, (cos) ′ = −sin, (sin) ′ = cos
La matrice de ϕ est donc
⎛
⎝
0 0 0
0 0 1
0 −1 0
⎞
⎠