Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 20.26
Pour b = 0, l’équation n’a pas de solution. Si b ≠ 0 et a = 0, on trouve une solution 1 b .
On suppose désormais ab ≠ 0.
La fonction f : x ↦−→ e ax − bx a pour dérivée x ↦−→ ae ax − b.
Si ab < 0, f est strictement monotone. On vérifie qu’en −∞ et +∞, f a des limites infinies
opposées : f réalise une bijection de R sur R. Elle s’annule une fois.
Si ab > 0, f ′ s’annule en α = 1 a ln b a et f(α) = b a
(
1 − ln b a
• Si a > 0, f a pour limite +∞ en −∞ et +∞; elle atteint son minimum en α. Si b < ae
le minimum est strictement positif et f ne s’annule pas. Si b = a le minimum est nul et f
s’annule une fois. Si b > ae, le minimum est négatif et f s’annule deux fois.
• Le cas a < 0 se ramène au précédent car x est solution de e ax = bx si et seulement si −x
est solution de e −ax = −bx.
Exercice 20.27
1. Comme lim
x − 1 = 1, la fonction f est continue en 1, donc sur R∗ +. Elle est dérivable
sur ]0,1[ et ]1,+∞[ et
f ′ (x) = x − 1 − lnx
(x − 1) 2 .
x→1
lnx
L’étude des variations de x ↦−→ x − 1 − lnx montre que cette fonction est positive ou nulle
sur ]0,+∞[ et ne s’annule qu’en 1. On en déduit que pour x > 0, x ≠ 1, f ′ (x) > 0. La
fonction étant continue sur R ∗ +, elle est strictement croissante sur R ∗ +. Comme lim f(x) = 0
x→0
et lim f(x) = +∞, f réalise une bijection de
x→+∞ R∗ + sur R ∗ +.
2. Pour x ≠ 1,
( 1
f(x)f =
x)
xlnx 1 x ln 1 x
(x − 1) ( x(ln x)2
1
=
x
− 1) (x − 1) 2 .
Comme lnx
( ) 1
x − 1 > 0, l’inégalité f(x)f < 1 équivaut à lnx
x
x − 1 √ 1 . Cette inégalité a été
x
démontrée dans l’exercice 22.
Exercice 20.28
On a, par définition n√ n = e ln n . La fonction x ↦−→ lnx , croît sur ]0,e] et décroît sur [e,+∞[.
x
Cela montre que n√ n 2√ 2 pour n 2 et n√ n 3√ 3 pour n 3. Puisque 2 3 3 2 , on a
2√ √ 2
3
3, on conclut
sup
√ n
n = 3√ 3.
n∈N ∗
Exercice 20.29
1. La fonction g α : x ↦−→ x − f α (x) est définie et dérivable sur ] − α,+∞[ et
)
.
1
α
g α(x) ′ = 1 − (α − 1)
1 + α x
= x + 1
x + α .