CorrigÃ© des exercices - Dunod

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94 ⎛ → ⎜ ⎝ 2 −2 1 −5 3 0 0 3 1 −1 0 0 0 2 −6 0 0 0 1 −3 0 0 0 −2 6 ⎞ ⎟ ⎠ donc le rang de la matrice est 3. 3. De même ⎛ ⎞ ⎛ 2 1 7 ⎜ −3 2 0 ⎟ ⎝ 1 2 8 ⎠ → ⎜ ⎝ −4 1 −5 le rang de la matrice est 2. Exercice 13.2 2 0 0 −3 7 21 1 3 9 −4 6 18 L 3 ← L 3 + 2L 2 L 4 ← L 4 − L 2 L 5 ← L 5 + L 2 ⎞ ⎟ ⎠ 1. On applique la méthode du pivot de Gauss ⎧ ⎧ ⎨ ⎨ ⎩ −x + 2y − z = 3 −2x + 2y − z = 2 x − y + z = 1 2. De même ⎧ ⎨ ⎧ ⎨ ⇔ ⎩ ⎩ ⇔ ⎩ 4x − 3y + 2z = −1 −3x + 3y − 2z = 0 x − y + z = 1 ⎛ → ⎜ ⎝ C 2 ← 2C 2 − C 1 C 3 ← 2C 3 − 7C 1 −x + 2y − z = 3 −2y + z = −4 y = 4 ⎧ ⎨ ⇔ ⎩ 4x − 3y + 2z = −1 3y − 2z = −3 ⇔ 4z = 12 L 3 ← 3L 3 + L 2 3. On continue ⎧ ⎪⎨ 4x + y − 2z + 2t = 3 −3x + 2y + 2z − t = −1 −2x + y + 2z − t = 1 x + y − z + t = 2 ⎪⎩ ⎧ x + y − z + t = 2 ⎪⎨ 5y − z + 2t = 5 ⇔ 3y + t = 5 ⎪⎩ −3y + 2z − 2t = −5 ⎧ ⎪⎨ ⇔ ⎪⎩ ⎧ ⎪⎨ ⇔ ⎪⎩ 2 −2 1 −5 3 0 0 3 1 −1 0 0 0 2 −6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 → ⎛ ⎜ ⎝ 2 0 0 −3 7 0 1 3 0 −4 6 0 L 2 ← L 2 − 2L 1 L 3 ← L 3 + L 1 4x − 3y + 2z = −1 3y − 2z = −3 −y + 2z = 5 ⎧ ⎨ ⎩ ⎞ 4x − 3y + 2z = −1 3y − 2z = −3 z = 3 ⎧ x + y − z + t = 2 ⎪⎨ −3x + 2y + 2z − t = −1 ⇔ −2x + y + 2z − t = 1 ⎪⎩ 4x + y − 2z + 2t = 3 L 2 ← L 2 + 3L 1 L 3 ← L 3 + 2L 1 L 4 ← L 4 − 4L 1 ⎧ ⎪⎨ ⇔ ⎪⎩ x + y − z + t = 2 5y − z + 2t = 5 ⇔ 3z − t = 10 −5t = −100 L 4 ← 3L 4 − 7L 2 ⎧ x + y − z + t = 2 ⎪⎨ 5y = 5 + 10 − 40 ⇔ z = 10 ⎪⎩ t = 20 ⎟ ⎠ L 4 ← 2L 4 − L 3 L 5 ← L 5 + L 3 ⎞ ⎟ ⎠ C 3 ← C 3 − 3C 1 ⎧ ⎨ x = 1 ⇔ y = 4 ⎩ z = 4 L 2 ← 4L 2 + 3L 1 L 3 ← 4L 3 − L 1 ⎧ ⎨ ⇔ ⎩ x + y − z + t = 2 5y − z + 2t = 5 3z − t = 10 7z − 4t = −10 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x + y − z + t = 2 y = −5 z = 10 t = 20 L 1 ↔ L 4 x + y − z + t = 2 5y − z + 2t = 5 3z = 30 t = 20 ⎧ ⎪⎨ ⇔ ⎪⎩ x = y = 1 z = 3 −1 L 3 ← 5L 3 − 3L 2 L 4 ← 5L 4 + 3L 2 x = −3 y = −5 z = 10 t = 20
95 Exercice 13.3 1. Soit (x,y,z,t) un vecteur de K 4 , on a ⎧ ⎨ 2x − y + 5t = 0 (x,y,z,t) ∈ Ker(f) ⇔ −3x + y − z − 8t = 0 ⎩ x + z + 3t = 0 ⎧ ⎨ ⇔ ⎩ 2x − y + 5t = 0 −y − 2z − t = 0 y + 2z + t = 0 L 2 ← 2L 2 + 3L 1 L 3 ← 2L 3 − L 1 ⇔ { 2x − y + 5t = 0 y = −2z − t ⇔ { x = −z − 3t y = −2z − t D’où Ker(f) = Vect((−1, −2,1,0),(−3, −1,0,1)). Ces deux vecteurs n’étant pas colinéaires, ils forment une base de Ker(f). D’après le théorème du rang, on en déduit que dim(Im(f)) = dim(K 4 )−dim(Ker(f)) = 4−2 = 2. Or on sait que les deux vecteurs ((−1,1,0),(0, −1,1)) sont <strong>des</strong> vecteurs de Im(f). Comme ils ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre de deux vecteurs de Im(f), espace de dimension 2. La famille ((−1,1,0),(0, −1,1)) est donc une base de Im(f). 2. Un triplet (x,y,z) appartient à Im(f) si et seulement s’il existe deux scalaires a,b tels que (x,y,z) = a(−1,1,0) + b(0, −1,1) soit encore ⎧ ⎨ ⎩ −a = x a − b = y b = z ⎧ ⎨ a = −x ⇔ −b = x + y ⎩ b = z Une équation de Im(f) est donc x + y + z = 0. Exercice 13.4 ⎧ ⎨ ⇔ ⎩ a = −x b = −x − y 0 = x + y + z Posons x 1 ,x 2 ,...,x n les affixes de A 1 ,A 2 ,...,A n . Ces points répondent à la question si et seulement si leurs affixes vérifient le système ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x 1 + x 2 = 2z 1 x 2 + x 3 = 2z 2 x 3 + x 4 = 2z 3 . x n−1 + x n = 2z n−1 x 1 + x n = 2z n Ce système est quasiment triangulaire. Il reste à simplifier la dernière ligne. En effectuant L n ← L n − L 1 , on a L n : −x 2 + x n = 2(−z 1 + z n ). L’intuition nous pousse à effectuer n−1 ∑ L n ← L n + (−1) k L k . On a alors k=1 n−1 ∑ L n : x 1 + x n + (−1) k x k + x k+1 = 2z n + k=1 n−1 ∑ (−1) k 2z k k=1
Page 1:
Corrigé des exercices 1
Page 4 and 5:
4 P Q 9 10 11 12 13 14 15 16 V V F
Page 6 and 7:
6 Dans tous les cas, un élément q
Page 8 and 9:
8 2. f(A) = {1}; 3. f(A) = [0,2];
Page 10 and 11:
10 l’hypothèse, g ◦f ne serait
Page 12 and 13:
12 2. f est une bijection de R \ f
Page 14 and 15:
14 Exercice 5.6 1. Considérons la
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16 3. En appliquant ce qui précèd
Page 18 and 19:
18 façon que n = 4a+9b. Considéro
Page 20 and 21:
20 D’autre part, (1 −a n )(1
Page 22 and 23:
22 Chapitre 6 Exercice 6.1 Nous ne
Page 24 and 25:
24 Exercice 6.8 1. Soit a un comple
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26 fait) que a ∈ [2 − √ 3,2+
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28 n−1 ∑ 2. Si ω p = 1, alors
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30 Exercice 6.27 On pose Z = z n .
Page 32 and 33:
32 z 3 = 1 2 ⎛ ⎝− 1 − √ 5
Page 34 and 35:
34 2. z 4 + 4z 3 + 4z 2 + 1 = z 2 (
Page 36 and 37:
36 2. On calcule Q(1) = 0, puis, av
Page 38 and 39:
38 Exercice 7.23 Si a est une racin
Page 40 and 41:
40 Exercice 7.28 1. Posons Y = X +
Page 42 and 43:
42 Exercice 8.4 La relation bien co
Page 44 and 45: 44 • Pour n = 0, la propriété d
Page 46 and 47: 46 Exercice 8.18 1. a) Pour tout en
Page 48 and 49: 48 e) Chaque rangement de p boules
Page 50 and 51: 50 3. Il faut ici d’abord réalis
Page 52 and 53: 52 Soient f,g deux fonctions de A e
Page 54 and 55: 54 Exercice 9.6 Soient a,b,c trois
Page 56 and 57: 56 Exercice 9.10 1. Comme (−3,
Page 58 and 59: 58 Exercice 9.14 Pour tout réel x
Page 60 and 61: 60 Exercice 9.18 1. Si f était dé
Page 62 and 63: 62 Exercice 9.24 1. Par définition
Page 64 and 65: 64 6. Soient f,g ∈ E et λ,µ deu
Page 66 and 67: 66 3. On sait que l’image par f d
Page 68 and 69: 68 f est une application linéaire.
Page 70 and 71: 70 Exercice 10.13 1. Montrons d’a
Page 72 and 73: 72 2. a) Nous avons d’une part f(
Page 74 and 75: 74 Exercice 11.3 Soit y ∈ Im(u+v)
Page 76 and 77: 76 Or il est clair que Im(h) = Im(g
Page 78 and 79: 78 Exercice 11.11 1. Tout d’abord
Page 80 and 81: 80 Exercice 11.12 1. On a T(X) = (X
Page 82 and 83: 82 Exercice 12.2 1. Soient A,B ∈
Page 84 and 85: 84 De même (0,1) = a(1, −1)+b(2,
Page 86 and 87: 86 4. Au rang 1, un endomorphisme n
Page 88 and 89: 88 3. Avec les mêmes notations, on
Page 90 and 91: 90 Exercice 12.14 1. L’image par
Page 92 and 93: 92 4. On inverse la matrice de f da
Page 96 and 97: 96 soit n−1 ∑ L n : x 1 + x n +
Page 98 and 99: 98 En effectuant à nouveau les op
Page 100 and 101: 100 2. Une équation de E −2 est
Page 102 and 103: 102 3. λ est valeur propre si et s
Page 104 and 105: 104 D’où E 0 = Vect(−1,0,1). U
Page 106 and 107: 106 D’où E −1 = Vect(1,2,2). D
Page 108 and 109: 108 1 er cas λ = −2 On obtient a
Page 110 and 111: 110 Exercice 14.8 1. On triangule l
Page 112 and 113: 112 4. a) On voit que ⎛ ⎝ c’e
Page 114 and 115: 114 b) Avec une telle hypothèse su
Page 116 and 117: 116 b) On a donc M = (a − c)PIP
Page 118 and 119: 118 12. C’est vrai pour ⎛ n = 1
Page 120 and 121: 120 18. On a donc ⎧⎛ ⎨ C(A) =
Page 122 and 123: 122 Exercice 15.4 On a Si a > b, on
Page 124 and 125: 124 Si (v n ) n∈N converge vers 0
Page 126 and 127: 126 2. On a, pour n 1, lnu n = n
Page 128 and 129: 128 En mettant en facteur √ 2, on
Page 130 and 131: 130 2. On remarque que, pour tout n
Page 132 and 133: 132 Exercice 15.23 1. On a, pour to
Page 134 and 135: 134 Exercice 15.26 La suite (u n )
Page 136 and 137: 136 On remarque que et on obtient (
Page 138 and 139: 138 3. On déduit de la question 2
Page 140 and 141: 140 x 1 1 1 . On a donc inf A et
Page 142 and 143: 142 3. Notons p = Ent(nx) et effect
Page 144 and 145:
144 5. En multipliant par l’expre
Page 146 and 147:
146 Exercice 16.6 On note que, pour
Page 148 and 149:
148 2. Soit x 0 ∈ R + et ε > 0.
Page 150 and 151:
150 Exercice 16.15 1. On a, pour to
Page 152 and 153:
152 2. Pour tout n ∈ N, u n − v
Page 154 and 155:
154 On en déduit que u n √ k = e
Page 156 and 157:
156 3. Pour n n 0 , on a v n+2 = |
Page 158 and 159:
158 u 0 = 1 − 1 n , avec n ∈ N
Page 160 and 161:
160 Si u 0 ∈ I 4 , la suite (u n
Page 162 and 163:
162 Exercice 17.22 1. La fonction g
Page 164 and 165:
164 b) La fonction f est décroissa
Page 166 and 167:
166 et g(x) − x = (r + x2 ) 2 (1
Page 168 and 169:
168 Exercice 17.29 1. La fonction g
Page 170 and 171:
170 3. On étudie (x x ) x x xx De
Page 172 and 173:
172 2. Puisque lim 2sin x = 1, on p
Page 174 and 175:
174 Exercice 18.9 On compare la som
Page 176 and 177:
176 On remarque que, pour tout enti
Page 178 and 179:
178 On en déduit que nécessaireme
Page 180 and 181:
180 3. Comme u n tend vers +∞, e
Page 182 and 183:
182 4. On raisonne comme dans 3. En
Page 184 and 185:
184 3. Pour n assez grand, on a nm
Page 186 and 187:
186 Si g n’est pas strictement po
Page 188 and 189:
188 On en déduit que lim |f(x)| =
Page 190 and 191:
190 Pour tout y ∈] − 1,1[, y =
Page 192 and 193:
192 5. On obtient : 0 arctan x < a
Page 194 and 195:
194 2. La réciproque est fausse. S
Page 196 and 197:
196 Pour le produit, on prend le lo
Page 198 and 199:
198 Exercice 20.13 1. Si g(b) = g(a
Page 200 and 201:
200 2. On procède comme dans la qu
Page 202 and 203:
202 3. On a, pour tout réel x, f
Page 204 and 205:
204 On obtient g ′ (x) = (c−x)(
Page 206 and 207:
206 2. Soit f définie sur ] 0, π
Page 208 and 209:
208 La fonction g α ′ s’annule
Page 210 and 211:
210 Ainsi, si x < 0, f ′ (x) =
Page 212 and 213:
212 n−2 ∑ Posons P n (x) = a k
Page 214 and 215:
214 ce qui montre que la propriét
Page 216 and 217:
216 ce qui est possible car x 0 n
Page 218 and 219:
218 Exercice 20.43 1. La dérivée
Page 220 and 221:
220 Chapitre 21 Exercice 21.1 1. On
Page 222 and 223:
222 car e it ne peut pas être éga
Page 224 and 225:
224 Ceci montre que la différence
Page 226 and 227:
226 4. D’après la démonstration
Page 228 and 229:
228 Exercice 21.13 La fonction f s
Page 230 and 231:
230 4. Supposons que f tend vers +
Page 232 and 233:
232 Exercice 21.18 1. Si M = 0, la
Page 234 and 235:
234 Exercice 21.21 1. • Notons qu
Page 236 and 237:
236 Comme, par positivité de l’i
Page 238 and 239:
238 Si la propriété est vérifié
Page 240 and 241:
240 1 est une primitive de x ↦−
Page 242 and 243:
242 ] b) Pour tout x ∈ − π 2 ,
Page 244 and 245:
244 Exercice 22.13 1. a) Pour n ∈
Page 246 and 247:
246 Exercice 22.15 Pour x > 0, on f
Page 248 and 249:
248 c) Supposons que l > 0. On a pa
Page 250 and 251:
250 La fonction f est donc décrois
Page 252 and 253:
252 H de h sur ]0,1[ ou ]1,+∞[ et
Page 254 and 255:
254 c) Notons k le prolongement con
Page 256 and 257:
256 3. On applique la formule de Ta
Page 258 and 259:
258 |x| n 2. On montre comme dans l
Page 260 and 261:
260 De même, f ′ est C 1 donc On
Page 262 and 263:
262 3. On écrit l’inégalité de
Page 264 and 265:
264 On observe que si x ∈ [0,1] e
Page 266 and 267:
266 Comme lim f(x) = l, on a égale
Page 268 and 269:
268 Exercice 23.19 1. Comme f est d
Page 270 and 271:
270 b) On obtient, pour tous réels
Page 272 and 273:
272 ( ) 4. On écrit (1 + 2x) 1 1+x
Page 274 and 275:
274 2. En posant x = π + h, on obt
Page 276 and 277:
276 2. On détermine un développem
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278 Exercice 24.6 1. On écrit des
Page 280 and 281:
280 3. On écrit ( 1 + n) 1 n ( ( =
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282 n∑ x k La fonction x ↦−
Page 284 and 285:
284 On obtient en sommant des relat
Page 286 and 287:
286 3. On suppose x > 0. D’après
Page 288 and 289:
288 Puisque g est décroissante sur
Page 290 and 291:
290 Le signe de ϕ ′ (t) est celu
Page 292 and 293:
292 Le développement limité de x
Page 294 and 295:
294 Si on pose v n = ln n + 1 n , o
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296 2. On note S n la somme partiel
Page 298 and 299:
298 ( ) 1−α m − 1 Quand m tend
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300 b) La suite (R n ) n∈N est à
Page 302 and 303:
302 Exercice 25.9 1. On intègre pa
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304 Exercice 25.10 1. On obtient, e
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306 On reconnaît une somme de Riem
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308 La série de terme général v
Page 310 and 311:
310 et donc S = ex 1 − x . Exerci
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312 on obtient U 2 n u 0 + u 1 + 1
Page 314 and 315:
314 On applique de nouveau le résu
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316 Chapitre 26 Exercice 26.1 1. Le
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318 donc (X,Y ) ∈ Ω 3 . Enfin,
Page 320 and 321:
320 montrent que les suites (a n )
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322 Le point (u,v) appartient donc
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324 n∑ λ i Comme = 1, l’hypoth
Page 326 and 327:
326 2. On montre, comme dans la que
Page 328 and 329:
328 La fonction (x,y) ↦−→ (
Page 330 and 331:
330 y, il contient c xy et on a |f
Page 332 and 333:
332 Exercice 27.13 La fonction f es
Page 334 and 335:
334 Ces dérivées partielles sont
Page 336 and 337:
336 On en déduit que |f(x,y)| |xy
Page 338 and 339:
338 Exercice 28.7 Si U = (a,b) ≠
Page 340 and 341:
340 Exercice 28.11 Les fonctions so
Page 342 and 343:
342 Exercice 28.14 Sur l’ouvert
Page 344 and 345:
344 2. On fixe (x,y) ∈ R 2 . La f
Page 346 and 347:
346 3. P(E ∪ F) = P(E) + P(F) −
Page 348 and 349:
348 Exercice 29.10 1. T ( {A∪B, A
Page 350 and 351:
350 2. Procèdons par récurrence s
Page 352 and 353:
352 P R1∩···∩R n (R n+1 ) =
Page 354 and 355:
354 Or +∞ ⋃ k=1 B k = +∞ ⋃
Page 356 and 357:
356 Exercice 29.24 1. a) p 0 = 1 et
Page 358 and 359:
358 Si i = 6, ou 8 P(E i ) = 25 396
Page 360 and 361:
360 Exercice 29.30 1. M 4 = Id, Don
Page 362 and 363:
362 Exercice 30.3 ∑ Comme X est u
Page 364 and 365:
364 Donc en faisant tendre n vers +
Page 366 and 367:
366 La série de terme général k
Page 368 and 369:
368 n∑ u k = 1. k=1 Donc a n = 1
Page 370 and 371:
370 c) Remarquons que E(Y ) = 4n2 +
Page 372 and 373:
372 Exercice 30.19 1. Par définiti
Page 374 and 375:
374 µ [3] = µ [2] = +∞∑ k=1 =
Page 376 and 377:
376 ( b Ainsi Z k suit une loi de B
Page 378 and 379:
378 x f ′ 0 1 6 1 + 0 − 0 f 0 (
Page 380 and 381:
380 E(Y n ) = 1 2 = 1 2 = 1 2 + 1 2
Page 382 and 383:
382 Or 1−p p appartient à [0,1]
Page 384 and 385:
384 Exercice 30.31 1. L’événeme
Page 386 and 387:
386 Exercice 31.2 1. Pour tout enti
Page 388 and 389:
388 Soit k un entier supérieur ou
Page 390 and 391:
390 Ainsi Z − X et X ont même lo
Page 392:
392 Comme la série de terme géné
Page 395 and 396:
395 P(Y = k) = P(Y = k,X = 0) + P(Y
Page 397 and 398:
397 Donc S suit une loi de Poisson
Page 399 and 400:
n=0 P([X=n+1]∩[Y =n]) P(U=n,V =1)
Page 401 and 402:
401 Exercice 31.20 1. U(Ω) = {0,1,
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403 Pour tout couple (i,j) d’enti
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405 Par définition de la ⎧ covar
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407 b) P(X < Y ) = = = +∞∑ +∞
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Alors la suite (P(X n = N) − 1) n
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Donc en posant p ′ = 1 2−p , X
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413 par l’indépendance des varia
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CorrigÃ© des exercices - Dunod

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