Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 4.21
1. On a : f(E) = (A,B) = f(A ∪ B). Donc, si f est injective, alors A ∪ B = E.
Réciproquement, supposons que A ∪ B = E, et soient X et Y deux parties de E
telles que f(X) = f(Y ), c’est à dire que A ∩ X = A ∩ Y et B ∩ X = B ∩ Y . Alors,
(A∩X)∪(B∩X) = (A∪B)∩X = E∩X = X. On a alors : X = (A∩Y )∪(B∩Y ) = (A∪B)∩Y = E∩Y = Y ,
ce qui prouve que f est injective.
2. Si f est surjective, alors il existe X tel que f(X) = (E,E), alors, nécessairement
A = B = E
Mais réciproquement, si A = B = E, alors pour tout X, f(X) = (X,X) et l’application f
ne peut pas être surjective.
Remarquons qu’elle est surjective sur P(A) × P(B), lorsque A ∩ B = ∅.
Exercice 4.22
1. Considérons deux couples (p,q) et (p ′ ,q ′ ) d’entiers tels que (p + q) 2 + q = (p ′ + q ′ ) 2 + q ′ ,
supposons que p + q p ′ + q ′ , et posons p ′ + q ′ = p + q + a (où a est un entier naturel).
On a alors (p + q) 2 + q = (p + q + a) 2 + q ′ = (p + q) 2 + a 2 + 2a(p + q) + q ′ , c’est à
dire q = a 2 + 2a(p + q) + q ′ . Mais 2a(p + q) = 2ap + 2aq 2aq et, si a est non nul,
a 2 + 2a(p + q) + q ′ > q. Pour que (p + q) 2 + q = (p ′ + q ′ ) 2 + q ′ , il est donc nécessaire que
a = 0, c’est à dire que p + q = p ′ + q ′ . Mais alors, on a q = q ′ et donc p = p ′ , ce qui prouve
que f est injective.
Exercice 4.23
1.
2.
f ◦ g(x) = f(g(x)) = √ 1 − cos 2 x =
g ◦ f(x) = g(f(x)) = cos √ 1 + x 2 .
√
sin 2 x = |sin x|,
f ◦ g(x) = f(g(x)) = 1 + (1 − x 2 ) + (1 − x 2 ) 2 = 1 + 1 − x 2 + 1 − 2x 2 + x 4 = 3 − 3x 2 + x 4
g ◦ f(x) = g(f(x)) = 1 − (1 + x + x 2 ) 2 = −2x − 3x 2 − 2x 3 − x 4 .
3.
f ◦ g(x) = f(g(x)) = 1 + (x2 − x + 1)
1 − (x 2 − x + 1) = 2 − x + x2
x − x 2
g ◦ f(x) = g(f(x)) =
= 1 + 3x2
(1 − x) 2 .
( 1 + x
1 − x
) 2
− 1 + x
1 − x + 1 = (1 + x)2 − (1 + x)(1 − x) + (1 − x) 2
(1 − x) 2
Exercice 4.24
1. Avec y = 2 + x
3 − x
, on obtient 3y − xy = 2 + x, soit x + xy = 3y − 2 ou encore x =
3y − 2
y + 1 .
f est une bijection de R \ {3} sur R \ {−1}, et sa bijection réciproque est : f −1 (x) = 3x − 2
x + 1 .