Corrigé des exercices - Dunod

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2. a) Nous avons d’une part f(x + y) = λ x+y (x + y) et d’autre part f(x + y) = λ x x + λ y y.
On a donc
λ x+y x + λ x+y y = λ x x + λ y y
Comme la famille (x,y) est libre, on en déduit que λ x+y = λ x = λ y
b) Soit a ∈ K tel que y = ax. On a alors f(y) = λ y y et f(y) = f(ax) = af(x) = aλ x x = λ x y.
Autrement dit λ y y = λ x y, comme y ≠ 0, λ x = λ y .
3. D’après les questions précédentes, le scalaire λ x ne dépend pas de x. Notons le λ. On a
alors pour tout x ∈ E non nul, f(x) = λx. Cette égalité étant encore vérifiée pour x = 0, f
est bien une homothétie de rapport λ.
Chapitre 11
Exercice 11.1
1. Après calculs, on trouve que u(X 4 ) = X.
2. Soient P 1 et P 2 deux polynômes de C 4 [X] et λ,µ deux scalaires. Supposons que l’on ait
P 1 = (X 2 + X + 1)Q 1 + R 1 (1)
P 2 = (X 2 + X + 1)Q 2 + R 2 (2)
où R 1 = u(P 1 ) et R 2 = u(P 2 ). En effectuant λ(1) + µ(2), on trouve
λP 1 + µP 2 = (X 2 + X + 1)(λQ 1 + µQ 2 ) + λR 1 + µR 2
Et d’après les règles sur les degrés deg(λR 1 + µR 2 ) max (deg(R 1 ),deg(R 1 )) 1. Le
polynôme λR 1 +µR 2 est donc le reste de la division de λP 1 +µP 2 par X 2 +X+1. Autrement
dit u(λP 1 + µP 2 ) = λR 1 + µR 2 = λu(P 1 ) + µu(P 2 ), c’est-à-dire que u est linéaire.
3. Un polynôme P est dans le noyau de u si et seulement si le reste de la division de P
par X 2 + X + 1 est nul, autrement dit P ∈ Ker(u) si et seulement si P est un multiple de
X 2 + X + 1.
Ker(u) = { (X 2 + X + 1)(aX 2 + bX + c) ∣ ∣ a,b ∈ C }
= { a(X 4 + X 3 + X 2 ) + b(X 3 + X 2 + X) + c(X 2 + X + 1) ∣ ∣ a,b ∈ C
}
= Vect ( X 4 + X 3 + X 2 ,X 3 + X 2 + X,X 2 + X + 1 )
Ces trois vecteurs étant de degrés distincts, ils forment une base de Ker(u).
4. Il est clair que Im(u) ⊂ C 1 [X] et que pour tout P ∈ C 1 [X] on a u(P) = P. Ceci permet
de conclure que Im(u) = C 1 [X].
5. Soit P ∈ C 4 [X], écrivons la division euclidienne de P par X 2 +X+1, P = (X 2 +X+1)Q+R.
En évaluant l’égalité en j et en j 2 on trouve
P(j) = (j 2 + j + 1)Q(j) + R(j)
et
P(j 2 ) = ( (j 2 ) 2 + j 2 + 1 ) Q(j 2 ) + R(j 2 )