Corrigé des exercices - Dunod

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montrent que les suites (a n ) n∈N et (b n ) n∈N convergent vers a et b respectivement.
Si les suites (a n ) n∈N et (b n ) n∈N convergent vers a et b respectivement, l’inégalité
montre que (A n ) n∈N converge vers A.
2. Soit F une partie de R 2 .
d(A n ,A) |a n − a| + |b n − b|
• Supposons que F est fermé et considérons une suite (A n ) n∈N éléments de F qui converge
vers A. Raisonnons par l’absurde et supposons que A /∈ F. Comme le complémentaire
de F est ouvert, on peut trouver r > 0 tel que la boule ouverte de centre A et de rayon
r soit incluse dans le complémentaire de F. On a alors, pour tout n ∈ N, d(A,A n ) r
puisque A n ∈ F. Cela est contradictoire avec la convergence de (A n ) n∈N vers A. Donc A
appartient à F.
• Supposons réciproquement que toute suite convergente d’éléments de F ait sa limite dans
F. Montrons que F est fermé en raisonnant encore par l’absurde. Si F n’est pas fermé,
son complémentaire n’est pas ouvert et on peut trouver A /∈ F tel que toute boule ouverte
de centre A rencontre F. En particulier, pour tout n ∈ N ∗ , il existe A n ∈ F tel que
d(A n ,A) < 1 n . Par construction, (A n) n∈N est une suite d’éléments de F qui converge vers
A, qui n’appartient pas à F. C’est contradictoire avec l’hypothèse. Ainsi, F est fermé.
Exercice 26.9
• Supposons que Ω est ouvert. Soit B ∈ λΩ. Par définition, il existe A ∈ Ω tel que B = λA.
Puisque A ∈ Ω, il existe r > 0 tel que la boule ouverte de centre A et de rayon r soit
incluse dans Ω. Montrons que λΩ contient la boule ouverte de centre B et de rayon |λ|r.
Soit N ∈ B(B, |λ|r) et M = 1 N. On a
λ ∥ d(M,A) = ‖M − A‖ =
1 ∥∥∥
∥λ (N − B) = 1 ‖N − B‖ r.
|λ|
Le point M appartient à la boule de centre A et de rayon r donc à Ω et N = λM appartient
à λΩ. La boule B(B, |λ|r) est incluse dans λΩ.
• Supposons que Ω est fermé. Son complémentaire Ω ′ est donc ouvert. Comme λ n’est pas
nul, l’application M ↦−→ λM est une bijection de R 2 sur R 2 . En particulier λΩ ′ est le
complémentaire de λΩ. Il résulte du début de l’exercice que λΩ ′ est un ouvert de R 2 . Son
complémentaire λΩ est un fermé.
Exercice 26.10
1. Soit N 0 ∈ A + Ω. Par définition, il existe M 0 ∈ Ω tel que N 0 = M 0 + A. Puisque Ω est
ouvert, on peut trouver r > 0 tel que la boule B(M 0 ,r) soit incluse dans Ω. Montrons que
B(N 0 ,r) ⊂ A + Ω .
Soit N ∈ B(N 0 ,r). On a donc
‖N − N 0 ‖ = ‖N − M 0 − A‖ = ‖N − A − M 0 ‖ r.