Corrigé des exercices - Dunod

379
S n admet une espérance.
E(S n ) =
n
2∑
( ) n 1
2k
2k 2 n
k=0
= n n
2∑
( ) n − 1
2 n 2k − 1
= n 2
k=0
Si n est impair, le nombre de sauts d’une unité est impair donc S n (Ω) = {2k+1,0 k n−1
2 }.
Et P(S n = 2k + 1) = ( )
n 1
2k+1 2
. n
S n admet une espérance.
E(S n ) =
2∑
n−1
k=0
( ) n 1
(2k + 1)
2k + 1 2 n
n−1
= n 2∑
( ) n − 1
2 n 2k
= n 2
k=0
2. Remarquons que X n = S n + 2(n − S n ) = 2n − S n .
Alors X n (Ω) = [n,2n] et ∀k ∈ [n,2n], P(X n = k) = P(S n = 2n − k) = ( )
n 1
2n−k 2
. n
Comme S n admet une espérance et une variance, X n admet une espérance et une variance.
E(X n ) = 2n − n 2 = 3n 2
et V (X n ) = n 4
3. a) Y n (Ω) = [ [ ]
n+1
2 ,n].
b) D’après la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements
(X 1 = 1,X 1 = 2),
P(Y n = k) = P X1=1(Y n = k)P(X 1 = 1) + P X1=2(Y n = k)P(X 1 = 2)
Or P X1=1(Y n = k) = P(Y n−1 = k − 1) et P X1=2(Y n = k) = P(Y n−2 = k − 1).
Donc P(Y n = k) = 1 2 P(Y n−1 = k − 1) + 1 2 P(Y n−2 = k − 1).
c) Comme Y n est une variable aléatoire réelle discrète finie, Y n admet une espérance.
n ∑
E(Y n ) = kP(Y n = k).
k=n 0
Or d’après la question précédente, P(Y n = k) = 1 2 P(Y n−1 = k − 1) + 1 2 P(Y n−2 = k − 1).