Corrigé des exercices - Dunod

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1
est une primitive de x ↦−→
x √ sur ]0,+∞[. Sur ] − ∞,0[, on trouve de même
1 + x2 .
G(x) = ln 1 − √ 1 + x 2
x
−x
= ln
1 + √ 1 + x 2
Exercice 22.8
1
La fonction f : x ↦−→
x + √ est définie et continue sur ] − ∞, −2] et ]0,+∞[ donc
x 2 + 2x
possède des primitives sur chacun de ces intervalles. Soit I l’un des deux intervalles ]−∞, −2[
et ]0,+∞[ et a ∈ I. Calculons
F(x) =
∫ x
a
1
u + √ u 2 + 2u du.
La fonction ϕ : x ↦−→ x+ √ x 2 + 2x est dérivable sur ]−∞, −2] et ]0,+∞[ et ϕ ′ x
(x) = 1+ √
x2 + 2x .
On vérifie que ϕ ′ (x) > 0 si x > 0 et ϕ ′ (x) < 0 si x < −2. Ainsi ϕ réalise une bijection de
R + sur R + et de ] − ∞, −2] sur ] − 1, −2] (on vérifie que lim ϕ(x) = −1). De plus, on a
x→−∞
t = ϕ(x) =⇒ (x − t) 2 = x 2 + 2x =⇒ x =
t 2
2(t + 1) .
Sur chaque intervalle où elle est définie, ϕ −1 est définie par ϕ −1 (t) =
2(t + 1) .
On fait le changement de variable défini par u = ϕ −1 (t) =
du = t2 + 2t
dt et
2(t + 1)
2
∫ ϕ(x) ∫
t + 2 ϕ(x)
(
)
F(x) =
ϕ(a) 2(t + 1) 2 dt = 1
ϕ(a) 2(t + 1) + 1
2(t + 1) 2 dt
[ ] ϕ(x)
1
=
2 ln(1 + t) − 1
2(t + 1)
où K et K ′ sont des constantes.
ϕ(a)
= 1 2 ln(1 + x + √ x 2 1
+ 2x) −
2(1 + x + √ x 2 + 2x) + K
= 1 2 ln(1 + x + √ x 2 + 2x) − 1 2 x + 1 2
√
x2 + 2x + K ′
t 2
t 2
. On a donc
2(t + 1)
Exercice 22.9
Chacune de ces équations se met sur l’intervalle considéré sous la forme f ′ = fg dont les
solutions sont les fonctions C exp ◦G, où C est une constante et G une primitive de g.
1. Pour tout réel x, g(x) = −x 2 , G(x) = − x3
3
et f est de la forme
x ↦−→ Ce − x3
3 , C ∈ R.