Corrigé des exercices - Dunod

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D’autre part, (1 −a n )(1 −a n−1 ) · · · (1 −a 1 ) = 0 (car a n = 1). On conclut en multipliant par
n.
Exercice 5.22
1. A et B étant des parties bornées de R admettent des bornes supérieures. Tout élément x
de A ∪B appartient à A ou à B. Il est donc majoré par supA ou par supB, donc majoré par
la plus grande des deux. Ainsi, max(supA,supB) est un majorant de A ∪ B. Donc A ∪ B
étant majoré, admet une borne supérieure qui est inférieure à ce majorant. On en déduit
que sup(A ∪ B) max(supA,supB).
Réciproquement, par définition de la borne supérieure, quel que soit le réel ε strictement
positif, il existe un élément x de A, donc de A ∪ B tel que supA − ε < x, ce qui prouve que
supA sup(A ∪ B). On obtient clairement le même résultat avec supB. On en déduit ainsi
que max(supA,supB) sup(A ∪ B), et par suite que sup(A ∪ B) = max(supA,supB).
Exercice 5.23
a) Pour tout entier naturel non nul n, n − 1 n et n + 1 n
sont des réels positifs. Donc I est
minoré par 0. D’autre part, n − 1 n < n + 1 , donc I est majoré par 1.
n
b) On a f(1) = 0, donc 0 est le minimum, donc la borne inférieure de I.
Soit ε un réel positif
√
non nul. L’inéquation 1 −ε < f(n) équivaut, après calcul, à εn 2 > 2 −ε
2 − ε
En prenant n > , on prouve que 1 − ε n’est pas un majorant de I. Ceci prouve que
ε
la borne supérieur de I est égale à 1.
c) On a déjà montré que 0 est le minimum de I. D’autre part, la borne supérieure de I est
1, mais 1 n’est pas élément de I, donc I n’admet pas de maximum.
d) On a f(n) = n2 − 1
n 2 + 1 . La condition f(n) = f(p) équivaut donc à n2 − 1
n 2 + 1 = p2 − 1
p 2 + 1 , c’est
à dire à n 2 p 2 − p 2 + n 2 − 1 = n 2 p 2 + p 2 − n 2 − 1, c’est à dire encore à p 2 = n 2 , soit n = p,
car ce sont des nombres positifs. La conclusion en découle.
f est donc bijective de N sur son image I, et donc CardI = CardN. On conclut donc que I
n’est pas un ensemble fini.
Exercice 5.24
1.
• S 1 =
n∑
k 2 −
k=1
• Posons T i =
j=1
n∑
k =
k=1
Il en résulte que :
S 2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
−
n(n + 1)
2
= n(n2 − 1)
3
i∑
i(i + 1)
(i−1)(n−j+1) = i(i−1)(n+1)−(i−1)
2
n∑
T i =
i=2
n∑
((n + 1)(i 2 − i) + i − )
n∑
i3
= (n + 1) (i 2 − i) + 1 2
2
i=2
i=2
= (n+1)(i 2 −i)+ i − i3
.
2
n∑
(i − i 3 )
i=2