Corrigé des exercices - Dunod

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9. On triangule A − λI
⎛
3 − λ 0 1
⎞ ⎛
⎝ −1 2 − λ −1 ⎠ → ⎝
−2 0 −λ
⎛
→ ⎝
−2 0 −λ
0 2 − λ −1 + λ 2
0 0 2 − λ(3 − λ)
−2 0 −λ
−1 2 − λ −1
3 − λ 0 1
⎞
⎞
⎠
L 1 ↔ L 3
⎠ L 2 ← L 2 − 1 2 L 1
L 3 ← 2L 3 + (3 − λ)L 1
λ est valeur propre si et seulement si λ = 2 ou λ 2 − 3λ + 2. A possède donc deux valeurs
propres 1,2.
Une équation de E 1 est
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
−2x − z = 0 ⎪⎨ x = − 1 2 z
y − 1 ⇔
2 z = 0 ⎪⎩
y = 1 2 z
D’où E = Vect(−1,1,2).
De même E 2 admet pour équation
x + z = 0
Donc
E 2 = {(−z,y,z) | y,z ∈ R}
D’où E 2 = Vect((0,1,0),(−1,0,1))
10. On triangule A − λI
⎛
−1 − λ 2 −2
⎞ ⎛
⎝ −6 7 − λ −5 ⎠ → ⎝
−6 6 −4 − λ
⎛
⎝
= {y(0,1,0) + z(−1,0,1) | y,z ∈ R}
−6 6 −4 − λ
0 1 − λ λ − 1
0 6 − 6λ −12 + (λ + 1)(4 + λ)
⎛
→ A(λ) = ⎝
−6 6 −4 − λ
−6 7 − λ −5
−1 − λ 2 −2
⎞
−6 6 −4 − λ
0 1 − λ λ − 1
0 0 λ 2 − λ − 2
⎞
⎠
L 1 ↔ L 3
⎠ L 2 ← L 2 − L 1
L 3 ← 6L 3 − (λ + 1)L 1
⎞
⎠
L 3 ← L 3 − 6L 2
Les valeurs propres sont donc les solutions de l’équation (1 −λ)(λ 2 −λ−2) = 0 soit 1, −1,2.
Une équation de E −1 est A(−1)X = 0 soit
{
−6x + 6y − 3z = 0
2y − 2z = 0 ⇔ ⎧
⎨
⎩
x = 1 2 z
y = z