Corrigé des exercices - Dunod

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On obtient, quand |x| tend vers +∞,
(
f(x) = x 1 − 3
3x + 1
3x 2 − 9 ( )) 1
9x 2 + o x 2
= x − 1 − 2 ( ) 1
3x + o .
x
La courbe possède en −∞ et +∞ une asymptote d’équation y = x − 1. Au voisinage de
−∞, elle est au-dessus de son asymptote ; au voisinage de +∞, elle est au-dessous.
3. On peut écrire, quand x tend vers −∞ ou+∞,
(
f(x) = −x 2 ln 1 + 1 ) ( 1
= −x 2
x x − 1
2x 2 + 1 ( )) 1
3x 3 + o x 3
= −x + 1 2 − 1 ( ) 1
3x + o .
x
La courbe possède en −∞ et en +∞ une asymptote d’équation y = −x + 1 . Au voisinage
2
de −∞, elle est au-dessus de son asymptote ; au voisinage de +∞, elle est au-dessous.
Exercice 24.15
On peut noter que f est paire.
1. On a, au voisinage de 0, arctanx = x − 1 3 x3 + o(x 3 ) et donc
x
arctan x = 1
1 − 1 3 x2 + o(x 2 ) = 1 + 1 3 x2 + o(x 2 ).
Comme la valeur de f(0) est égale à la valeur en 0 du développement limité, on peut dire
qu’au voisinage de 0,
f(x) =
1
1 − 1 3 x2 + o(x 2 ) = 1 + 1 3 x2 + o(x 2 ).
La fonction f possède en 0 un développement limité d’ordre 1. Elle est donc dérivable en 0
et f ′ (0) = 0 (c’est le coefficient de x). La courbe possède au point d’abscisse 0 une tangente
d’équation y = 1. Pour x assez petit, f(x) −1 a le signe de 1 3 x2 , donc f(x) −1 0 la courbe
est au-dessus de la tangente.
2. La fonction f est dérivable sur R ∗ et, pour x ≠ 0,
Étudions la fonction g : x ↦−→ arctan x −
x
1+x 2
f ′ (x) = arctan x −
x 2 .
g ′ (x) =
x . Pour tout x ∈ R,
1 + x2 2x 2
(1 + x 2 ) 2 .
La fonction g est croissante sur R. Comme g(0) = 0, elle est négative sur R − et positive sur
R + . Il en est de même de f ′ . Ainsi f décroît sur R − et croît sur R + .