Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 8.18
1. a) Pour tout entier donné k, on choisit un sous-ensemble B de ( n
k)
façons, puis on choisit
n∑
( ) n
un sous-ensemble A de B de 2 k façons. Comme k varie de 0 à n, il y a 2 k façons
k
de choisir le couple (A,B) de sous ensembles satisfaisant à la question. À chaque couple
satisfaisant à la question correspond une paire de sous ensembles tel que l’un soit inclus
dans l’autre, et à une telle paire correspond un seul couple (A,B) tel que A ⊂ B. Il y a donc
3 n paires satisfaisant à la question (d’après le binôme de Newton).
b) Il y a autant de paires (A,B) avec A = B que de sous ensembles de E, à savoir 2 n . Il y
a donc 3 n − 2 n paires de sous ensembles distincts de E tels que l’un soit inclus dans l’autre.
2. a) Tout couple (A,B) de sous ensembles (A,B) tels que A ⊂ B correspond à un couple
et un seul de sous ensembles (Ā,B) tels que Ā ∪ B = E. La réponse à la question est donc
3 n . Il y a bien entendu d’autres méthodes. Si A ∪ B = E, E est la réunion disjointe de
A \ B,A∩B,etB \ A. Une telle partition de E est parfaitement définie par l’application qui
à chaque élément de E associe celui de ces trois sous ensembles auquel il appartient. Comme
il y a 3 n telles applications, il y a 3 n façons de choisir les sous ensembles A et B répondant
à la question.
b) Si A ∪ B = E, il y a deux façons de choisir celui des deux sous ensembles dont le
complémentaire est inclus dans l’autre, sauf pour A = B = E. Il y a donc 3n − 1
recouvrements
de E à l’aide de deux
2
parties.
3. a) Si A ∪ B ∪ C = E, les sous-ensembles A, B et C définissent une partition de E en
sept ensembles (disjoints). Chaque élément de E devant appartenir à un et un seul de ces
7 sous ensembles, il y a 7 n façons de trouver un triplet de sous-ensembles de E tels que
A ∪ B ∪ C = E.
b) En généralisant la méthode ci-dessus, on trouve (2 p − 1) n
Exercice 8.19
1. Le premier cube est placé au sol. Il est codé 1. Si le deuxième cube est placé sur le premier,
il est codé 0, et de même pour tous les cubes qui seront placés sur la première pile (celle
dont la base est constituée par le premier cube).Le premier cube qui ne sera pas placé sur
la première pile sera placé au sol contre le premier (il n’y a pas d’autre position possible), il
sera codé 1, et plus aucun cube ne pourra être posé sur la pile dont la base est constituée par
le premier cube. seront alors codé 0 les cubes qui constitueront la deuxième pile. Le premier
cube de la troisième pile (placé au sol, le long de la deuxième pile) sera codé 1, et ainsi de
suite jusqu’à épuisement des n cubes.
Ainsi, un tel mur sera-t-il codé par une suite de n caractères ”0” ou ”1”, et qui commencera
par ”1”.
Ainsi, la suite ”1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1” codera-t-elle un mur de 12 cubes, dont la première
pile est formée d’un seul cube, la deuxième de 3 cubes, la troisième de 4 cubes, la quatrième
de 3 cubes et la cinquième d’un seul cube.
2. On peut écrire 2 n−1 suites codant un mur tel qu’il est décrit dans l’énoncé (une telle suite
est constituée de ”1” et de ”0”, et commence obligatoirement par un ”1”), et il y a donc
2 n−1 tels murs.
k=0