Corrigé des exercices - Dunod

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Si on pose v n = ln n + 1
n , on a donc u n = v n − v n+2 . On obtient, pour n 3,
S n =
n∑
u k =
k=1
n∑
(v k − v k+2 ) =
k=1
La suite (v n ) n∈N converge vers 0 donc
n∑
k=1
n+2
∑
v k − v k = v 1 + v 2 − v n − v n+1 .
k=3
lim S n = v 1 + v 2 = ln 2 + ln 3 = ln 3.
n→+∞ 2
La série de terme général u n converge et sa somme vaut ln 3.
3. On sait que
+∞∑
k=0
1
n! = e1 = e. On s’y ramène. Pour n 2,
n
u n =
(n − 1)! + 1
(n − 1)! + 1 n! = n − 1
(n − 1)! + 2
(n − 1)! + 1 n!
1
=
(n − 2)! + 2
(n − 1)! + 1 n! .
On en déduit que la série de terme général u n converge comme somme de séries convergentes
et on obtient
+∞∑
+∞∑
(
1
u n = u 0 + u 1 +
(n − 2)! + 2
(n − 1)! + 1 )
n!
n=0
= 1 + 3 +
n=2
+∞∑
n=0
+∞
1
n! + 2 ∑
n=1
+∞
1
n! + ∑
= 4 + e + 2(e − 1) + e − 2 = 4e.
4. On utilise la somme de la série géométrique et de ses dérivées. On a, pour |x| < 1,
n∑
x n = 1
n
1 − x , ∑
n
nx n−1 1
=
(1 − x) 2 , ∑
n(n − 1)x n−2 2
=
(1 − x) 3 .
k=0
k=0
On en déduit, en prenant x = 1 2 ,
n∑
k=0
n
2 n−1 = 1
( 1
2) 2
= 4,
Comme, pour tout entier naturel n,
u n =
n∑
k=0
k=0
n=2
1
n!
n(n − 1)
2 n−2 = 2
( 1
2) 3
= 16.
n(n − 1)
2 n + n 2 n ,
on en déduit que la série de terme général u n converge comme somme de séries convergentes
et que
+∞∑ n 2
2 n = 1 2 4 + 1 16 = 6.
4
n=0