Corrigé des exercices - Dunod

367
Exercice 30.11
1. X 1 suit une loi uniforme sur [1,n].
X 1 admet une espérance et une variance : E(X 1 ) = n+1
2
et V (X 1 ) = n2 −1
12 .
2. a) X 2 (Ω) = [1,n].
Soit k un entier de [1,n].
D’après la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements (X 1 = i) 1in ,
Or P X1=i (X 2 = k) =
Donc P(X 2 = k) =
P(X 2 = k) =
{
1
n+i
i+1
si k ≠ i
n+i
si k = i .
k
n(n+k) + ∑ n
i=1
n∑
P X1=i (X 2 = k)P(X 1 = i)
i=1
1
n(n+i) .
b) X 2 est une variable aléatoire réelle discrète finie donc X 2 admet une espérance.
E(X 2 ) =
=
=
(
n∑
k
k=1
n
k
n(n + k) + ∑
n∑ (n + k − n) 2
+
n(n + k)
n∑
( n + k
− 2 +
n
k=1
k=1
= n + n + 1
2
= 1 − n
2
− 2n + n
+ 3n + 1
2
i=1
n∑
k
k=1
n
n + k
n∑
k=1
n∑
k=1
)
1
n(n + i)
1
n + k
n∑
i=1
)
+
1
n(n + i)
n∑
k
k=1
n∑
i=1
1
n + k + n + 1
2
1
n(n + i)
n∑
i=1
1
n + i
c) La fonction x ↦→ 1
1+x
est continue sur [0,1].
D’après les sommes de Riemann
lim
n∑
n→+∞
k=1
(
−1+
Or E(X 2 ) = n
1 n
2
+ 3+ 1 n
2
Donc E(X 2 )
3 ln 2−1
∼
n→+∞ 2
n.
1
n + k = lim 1
n→+∞ n
n∑
k=1
)
1
n+k
.
n∑
k=1
1
1 + k n
=
∫ 1
0
1
dx = ln 2.
1 + x
Exercice 30.12
1. Pour que la suite (u k ) définisse une loi de probabilité, il faut et il suffit que u k 0 et