Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 31.20
1. U(Ω) = {0,1,2} et V (Ω) = {−1,0,1}.
Représentons sous la forme d’un tableau la loi du couple (U,V ).
0 1 2
−1 0 pq 0 pq
0 q 2 0 p 2 p 2 + q 2
1 0 pq 0 pq
q 2 2pq p 2 1
2. E(UV ) = pq − pq = 0, E(U) = 2pq + 2p 2 = 2p et E(V ) = −pq + pq = 0.
Donc cov(U,V ) = 0.
3. U et V sont des variables aléatoires réelles non indépendantes et cov(X,Y ) = 0.
Donc la réciproque de la proposition : Si X et Y sont indépendantes alors cov(X,Y ) = 0
est fausse.
Exercice 31.21
Par définition de la covariance
cov(X,Y ) = E(XY )−E(X)E(Y ) = E(X(X+1) 2 )−E(X)E((X+1) 2 ) = E(X 3 )−E(X)E(X 2 ).
Or E(X) = n+1
2 , E(X2 ) = n ∑
k=1
Donc cov(X,Y ) = (n2 −1)(n+1)
12
.
Exercice 31.22
k 2
n = (n+1)(2n+1)
6
et E(X 3 ∑
) = n
k=1
k 3
n = n(n+1)2
4
.
1. X suit une loi uniforme sur [1,n].
La loi conditionnellement à (X = k) de Y est la loi uniforme sur {1, · · · ,k − 1,k + 1,n}.
∑
Pour tout entier i de [1,n], P(Y = i) = n P X=k (Y = i)P(X = k) = 1 n .
Donc Y suit une loi uniforme sur [1,n].
Ainsi E(X) = E(Y ) = n+1
2 .
E(XY ) =
=
=
=
=
n∑
i=1 j=1
n∑
k=1
n∑
ijP X=i (Y = j)P(X = i)
i=1 j=1,j≠i
1
n(n − 1)
1
n(n − 1)
n∑ ij
n(n − 1)
n∑
( n(n + 1)
i
2
i=1
( n 2 (n + 1) 2
−
4
(n + 1)(3n + 2)
12
Donc cov(X,Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) = − n+1
12 .
)
− i
)
n(n + 1)(2n + 1)
6