Corrigé des exercices - Dunod

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Donc S suit une loi de Poisson de paramètre pλ. De même E suit une loi de Poisson de
paramètre (1 − p)λ.
S et E sont des variables aléatoires indépendantes.
Exercice 31.15
1. U(Ω) = N ∗ . Pour tout entier k non nul,
P(U k) = P(X k,Y k) = P(X k)P(Y k).
Or X et Y suivent une loi géométrique de paramètre p donc P(X k) = 1 − q k .
Donc P(U k) = ( 1 − q k) 2
.
Or P(U = k) = P(U k) − P(U k − 1). Ainsi P(U = k) = q 2k−2 (q 2 − 1) + 2q k−1 (1 − q).
V (Ω) = N ∗ . Pour tout entier k non nul,
P(V k) = P(X k,Y k) = P(X k)P(Y k).
Or X et Y suivent une loi géométrique de paramètre p donc P(X k) = q k−1 .
Donc P(V k) = q 2k−2 .
Or P(V = k) = P(V k) − P(V k + 1). Ainsi P(V = k) = q 2k−2 (1 − q 2 ).
2. Comme la série de terme général kq k−1 et la série de terme général k(q 2 ) k−1 convergent
absolument, U admet une espérance.
E(U) =
+∞∑
k=1
k(q 2 ) k−1 (q 2 − 1) + kq k−1 2(1 − q)
q 2 − 1 2(1 − q)
=
(1 − q 2 +
)
2
(1 − q) 2
= 1 + 2q
1 − q 2
3. Comme la série de terme général k(q 2 ) k−1 converge absolument, V admet une espérance.
E(V ) =
=
=
+∞∑
k=1
k(q 2 ) k−1 (1 − q 2 )
1 − q 2
(1 − q 2 ) 2
1
1 − q 2
Or U + V = X + Y et X et Y admettent une espérance E(X) = E(Y ) = 2 p .
Donc E(V ) = 2 p − E(U) = 2 p − 1+2q
1−q
= 1 2 1−q
. 2
Exercice 31.16
1. Y (Ω) = [1,n]. Pour tout entier k de [1,n],
( n k
P(Y k) = P(X 1 k, · · · ,X n k) =
n)
Or P(Y = k) = P(Y k) − P(Y k − 1) = ( )
k n (
n − k−1
) n.
n