Corrigé des exercices - Dunod

147
3. On a sin(πx 0 ) = 0 donc h(x 0 ) = 0. Comme la fonction Ent est bornée au voisinage de x 0
et que sin(πx) tend vers 0, on a lim
x→x 0
h(x) = 0 = h(x 0 ). La fonction h est continue en x 0
donc sur R.
Exercice 16.9
On suppose que f est T-périodique et a pour limite l en +∞.
Soit x ∈ R. La suite (x + nT) n∈N tend vers +∞ donc par le théorème de composition des
limites, on obtient f(x + nT) = l. Mais pour tout n ∈ N, f(x + nT) = f(x), donc
f(x) = l.
Exercice 16.10
lim
n→+∞
Si B > 0, l’ensemble f −1 ([−B,B]) est borné : il existe K > 0 tel que f −1 ([−B,B]) ⊂ [−K,K]).
Si |x| > K, x /∈ f −1 ([−B,B]), donc f(x) /∈ [−B,B] et |f(x)| > B. On a ainsi,
On a donc
Exercice 16.11
lim |f(x)| = +∞.
|x|→+∞
∀B > 0 ∃K > 0 (|x| > K =⇒ |f(x)| > B).
1. Si x 0 ∈ Q, il existe dans tout intervalle de centre x 0 des x irrationnels pour lesquels on
a |f(x) − f(x 0 )| = 1. Il est donc impossible de trouver η tel que |f(x) − f(x 0 )| 1 2 , pour
tout x tel que |x| η : la fonction n’est pas continue en x 0 . On démontre de même que si
x 0 /∈ Q, f n’est pas continue en x 0 , en considérant des x rationnels.
2. Si x 0 ≠ 0, la fonction g n’est pas continue en x 0 , car sinon f serait continue en x 0 comme
quotient de fonctions continues.
Comme f est bornée, on a lim
0
g = 0 = g(0) : la fonction est continue en 0.
3. Si x /∈ Q, pour tout m ∈ N, xm! n’est pas entier, donc |cos(πxm!)| < 1. On en déduit
que lim
n→+∞ (cos(πxm!))n = 0. Comme ceci est vrai pour tout m, on a
lim
m→+∞
lim
n→+∞ (cos(πxm!))n = 0 = f(x).
Si x ∈ Q, il existe (p,q) ∈ Z × N ∗ tel que x = p . Pour m q + 2, xm! est un entier pair et
q
cos(πxm!) = 1. On en déduit que lim
n→+∞ (cos(πxm!))n = 1. Ceci est vrai pour tout m assez
grand donc
lim lim
m→+∞ n→+∞ (cos(πxm!))n = 1 = f(x).
Exercice 16.12
1. Si x ∈ Q + s’écrit sous forme irréductible p 1
, on a f(x) =
q p + q
ε si et seulement si
p + q 1 ε , ce qui implique p 1 ε et q 1 car p et q sont positifs. il y a donc un nombre
ε
fini de valeurs de p et de q possibles. On en déduit que A est fini.