Corrigé des exercices - Dunod

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Pour intégrer le deuxième terme, on fait apparaître la dérivée de t 2 − t + 1. Dans le terme
restant, on se ramène à la dérivée de arctan. On écrit
1
t 3 + 1 = 1
3(t + 1) − 2t − 1
6(t 2 − t + 1) + 1
2(t 2 − t + 1)
1
=
3(t + 1) − 2t − 1
6(t 2 − t + 1) + 1 1
(
2
t − 1 ) 2
+ 3 2 4
1
=
3(t + 1) − 2t − 1
6(t 2 − t + 1) + 2 1
( )
3 2
.
2t − 1
√ + 1 3
On en déduit une primitive F de t ↦−→ 1
t 3 sur ] − ∞, −1[ ou ] − 1,+∞[ :
+ 1
F(t) = 1 3 ln |t + 1| − 1 6 ln(t2 − t + 1) + √ 1 ( ) 2t − 1
arctan √ .
3 3
Exercice 22.3
Soit I =]−∞, −1[ ou ]−1,+∞[, a ∈ I et pour n ∈ N ∗ , F n la primitive de t ↦−→
I définie par F n (x) =
∫ x
a
1
(1 + t 3 )
F n (x) par parties : on intègre 1 et on dérive t ↦−→
1
(1 + t 3 ) n sur
dt. On détermine une relation de récurrence en intégrant
n
1
(1 + t 3 . On obtient
)
n
[ ] x ∫
t
x
t(−3nt 2 )
F n (x) =
(1 + t 3 ) n −
a a (1 + t 3 )
[ ] x ∫
t
x
=
(1 + t 3 ) n + 3n
a a
On en déduit que, pour x ∈ I et n ∈ N ∗ ,
=
F n+1 (x) =
n+1
dt
(t 3 + 1 − 1)
(1 + t 3 dt
)
n+1
x
(1 + x 3 ) n − a
(1 + a 3 ) n + 3n(F n(x) − F n+1 (x)).
x
3n(1 + x 3 ) n − a
3n(1 + a 3 ) n + 3n − 1
3n F n(x).
Exercice 22.4
On effectue la division euclidienne de (1 − X) n par 1 + X 2 . Il existe Q n ∈ R n [X] et
(α n ,β n ) ∈ R 2 tel que
(1 − X) n = (1 + X 2 )Q n (X) + α n X + β n .
Montrons que Q n est à coefficients dans Z et (α n ,β n ) ∈ Z 2 , en raisonnant par récurrence.
Pour n = 0, (1 − X) n = 1, donc Q 0 = 0, α 0 = 0, β 0 = 1.