Corrigé des exercices - Dunod

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en utilisant les formules de transformation des produits en sommes. On obtient en dérivant
n∑
pcos px = S 2(x) ′ = −1 2
p=0
n∑
psin px = −S 1(x) ′ =
p=0
après simplifications.
Exercice 20.6
2n+1
+ nsin
2
xsin x 2 + 1 2
2sin 2 x 2
2n+1
−ncos
2
xsin x 2 + 1 2
2sin 2 x 2
cos nx
,
sin nx
,
1. Puisque k n 2 1 n pour 1 k ≤, s n est défini dès que 1 a. On suppose cette condition
réalisée et on remplace chaque terme f
( ) n
k
n 2 par son développement limité d’ordre 1,
f(0) + k n 2 f ′ (0) + k n 2 ε ( k
n 2 ). On obtient
s n = nf(0) + f ′ (0)
n∑
k=1
n
k
n 2 + ∑
( )
k k
n 2 ε n 2
k=1
= nf(0) + f ′ (0) n + 1
n
2n + ∑
( )
k k
n 2 ε n 2 .
Le deuxième terme tend vers 1 2 f ′ (0). Montrons que le troisième a pour limite 0.
Soit ε > 0. Comme lim ε(x) = 0, il existe η > 0 tel que |ε(x)| ε si x ∈ [0,η]. Si 1 η, on
x→0 ∣ ( )∣ n
k ∣∣∣ k ∣∣∣
a, pour tout k entre 1 et n,
n 2 η et donc ε
n 2 ε. On obtient alors
n∑
( ) ∣ k k ∣∣∣ ∣ n 2 ε n 2 ε
k=1
n∑
k=1
k=1
Cette inégalité est vérifiée pour tout n assez grand donc
lim
n∑
n→+∞
k=1
k
n 2 εn + 1
2n ε.
( )
k k
n 2 ε n 2 = 0.
Des théorèmes sur la limite d’une somme, on déduit que si f(0) ≠ 0, (nf(0)) n∈N ∗ a pour
limite ±∞ et il en est de même de (s n ) n∈N ∗. Si f(0) = 0, la suite (s n ) n∈N ∗ converge vers
1
2 f ′ (0).
2. On applique le résultat de la question 1 à la fonction sin. Comme sin 0 = 0 et sin ′ 0 = 1,
on obtient
n∑
( ) k
lim sin
n 2 = 1 2 .
n→+∞
k=1