CorrigÃ© des exercices - Dunod

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86 4. Au rang 1, un endomorphisme nilpotent d’un espace de dimension 1 est nécessairement nul. Donc sa matrice est triangulaire supérieure stricte. Supposons l’hypothèse vérifiée au rang n − 1. Soit u un endomorphisme nilpotent d’un espace de dimension n. D’après ce qui précède il existe un hyperplan H tel que Im(u) ⊂ H. Soit v = u |H l’endomorphisme de H induit par u. v est lui même nilpotent. D’après l’hypothèse de récurrence il existe une base (e 1 ,e 2 ,...,e n−1 ) de H telle que la matrice de v dans cette base soit triangulaire supérieure stricte : ⎛ ⎞ 0 a 1,2 ... ... a 1,n−1 0 0 a 2,3 ... a 2,n−1 . . .. . .. . ⎜ ⎝ . ⎟ . .. an−2,n−1 ⎠ 0 ... ... ... 0 En complétant cette famille libre de E à l’aide d’un vecteur e n pour en faire une base B de n−1 ∑ E, comme u(e n ) ∈ H, u(e n ) est de la forme u(e n ) = a k,n e k . Dans cette base de E, la matrice de u est donc : ⎛ ⎞ 0 a 12 ... ... a 1n 0 0 a 23 ... a 2n M B (u) = . . .. . .. . .. ⎜ ⎝ . ⎟ . .. an−1,n ⎠ 0 ... ... ... 0 k=1 Exercice 12.9 1. Soit A ∈ M n (K). Supposons avoir trouvé deux matrices B ∈ S n (K) et C = A n (K) telles que A = B + C. Alors t A = t (B + C) = t B + t C = B − C. On en déduit par demi-somme et demi-différence qu’on a nécessairement B = A + t A l’écriture existe, elle est unique. De plus si l’on pose B = A + t A 2 2 et C = A − t A . Autrement dit si 2 et C = A − t A , on a alors 2 ( A + t B = t t ) A = 1 ( t A + t ( t A) ) = 1 ( t A + A ) = B ( 2 2 2 A − t C = t t ) A = 1 ( t A − t ( t A) ) = 1 ( t A − A ) = −C 2 2 2 c’est-à-dire que B ∈ S n (K), C ∈ A n (K) et B + C = A + t A 2 On en conclut que M n (K) = S n (K) ⊕ A n (K). + A − t A 2 = A
87 2. On a A 3 (K) = De plus la famille ⎝⎝ ⎛ a⎝ ⎧⎛ ⎞ ⎫ ⎨ 0 a b ⎝ −a 0 c ⎠ ∣ ⎬ a,b,c ∈ R ⎩ ⎭ −b −c 0 ⎛⎛ ⎞ ⎛ 0 1 0 −1 0 0 ⎠ , ⎝ 0 0 0 = Vect ⎝⎝ ⎛⎛ 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 ⎛ ⇔ ⎝ ⎞ ⎞ ⎛ ⎠ , ⎝ ⎛ ⎠ + b⎝ 0 a b −a 0 c −b −c 0 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 ⎞ 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 ⎞ ⎞ ⎛ ⎠ , ⎝ ⎛ ⎠ + c⎝ ⎞ ⎛ ⎠ , ⎝ 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 ⎠ = 0 ⇔ a = b = c = 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 ⎞⎞ ⎞⎞ ⎠⎠ ⎠⎠ est libre puisque ⎞ ⎠ = 0 Exercice 12.10 1. Soient z 1 ,z 2 ∈ C avec z 1 = a + ib et z 2 = c + id et λ,µ deux réels, on a f(λz 1 + µz 2 ) = f(λa + µc + i(λb + µd)) ( ) λa + µc −(λb + µd) = λb + µd λa + µc ( ) ( ) a −b c −d = λ + µ b a d c = λf(z 1 ) + µf(z 2 ) ( ) a −b et donc f est linéaire. De plus si f(z 1 ) = 0 alors = 0, donc a = b = 0 et z b a 1 = 0. Autrement dit Ker(f) = {0} et f est injective. ( ) ( ) 1 0 0 −1 2. De f(1) = et f(i) = , on déduit que la matrice de f dans les bases 0 1 1 0 canoniques de C et M 2 (R) est ⎛ ⎞ 1 0 ⎜ 0 −1 ⎟ ⎝ 0 1 ⎠ 1 0
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Corrigé des exercices 1
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4 P Q 9 10 11 12 13 14 15 16 V V F
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6 Dans tous les cas, un élément q
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8 2. f(A) = {1}; 3. f(A) = [0,2];
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10 l’hypothèse, g ◦f ne serait
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12 2. f est une bijection de R \ f
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14 Exercice 5.6 1. Considérons la
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16 3. En appliquant ce qui précèd
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18 façon que n = 4a+9b. Considéro
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20 D’autre part, (1 −a n )(1
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22 Chapitre 6 Exercice 6.1 Nous ne
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24 Exercice 6.8 1. Soit a un comple
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26 fait) que a ∈ [2 − √ 3,2+
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28 n−1 ∑ 2. Si ω p = 1, alors
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30 Exercice 6.27 On pose Z = z n .
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32 z 3 = 1 2 ⎛ ⎝− 1 − √ 5
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34 2. z 4 + 4z 3 + 4z 2 + 1 = z 2 (
Page 36 and 37: 36 2. On calcule Q(1) = 0, puis, av
Page 38 and 39: 38 Exercice 7.23 Si a est une racin
Page 40 and 41: 40 Exercice 7.28 1. Posons Y = X +
Page 42 and 43: 42 Exercice 8.4 La relation bien co
Page 44 and 45: 44 • Pour n = 0, la propriété d
Page 46 and 47: 46 Exercice 8.18 1. a) Pour tout en
Page 48 and 49: 48 e) Chaque rangement de p boules
Page 50 and 51: 50 3. Il faut ici d’abord réalis
Page 52 and 53: 52 Soient f,g deux fonctions de A e
Page 54 and 55: 54 Exercice 9.6 Soient a,b,c trois
Page 56 and 57: 56 Exercice 9.10 1. Comme (−3,
Page 58 and 59: 58 Exercice 9.14 Pour tout réel x
Page 60 and 61: 60 Exercice 9.18 1. Si f était dé
Page 62 and 63: 62 Exercice 9.24 1. Par définition
Page 64 and 65: 64 6. Soient f,g ∈ E et λ,µ deu
Page 66 and 67: 66 3. On sait que l’image par f d
Page 68 and 69: 68 f est une application linéaire.
Page 70 and 71: 70 Exercice 10.13 1. Montrons d’a
Page 72 and 73: 72 2. a) Nous avons d’une part f(
Page 74 and 75: 74 Exercice 11.3 Soit y ∈ Im(u+v)
Page 76 and 77: 76 Or il est clair que Im(h) = Im(g
Page 78 and 79: 78 Exercice 11.11 1. Tout d’abord
Page 80 and 81: 80 Exercice 11.12 1. On a T(X) = (X
Page 82 and 83: 82 Exercice 12.2 1. Soient A,B ∈
Page 84 and 85: 84 De même (0,1) = a(1, −1)+b(2,
Page 88 and 89: 88 3. Avec les mêmes notations, on
Page 90 and 91: 90 Exercice 12.14 1. L’image par
Page 92 and 93: 92 4. On inverse la matrice de f da
Page 94 and 95: 94 ⎛ → ⎜ ⎝ 2 −2 1 −5 3
Page 96 and 97: 96 soit n−1 ∑ L n : x 1 + x n +
Page 98 and 99: 98 En effectuant à nouveau les op
Page 100 and 101: 100 2. Une équation de E −2 est
Page 102 and 103: 102 3. λ est valeur propre si et s
Page 104 and 105: 104 D’où E 0 = Vect(−1,0,1). U
Page 106 and 107: 106 D’où E −1 = Vect(1,2,2). D
Page 108 and 109: 108 1 er cas λ = −2 On obtient a
Page 110 and 111: 110 Exercice 14.8 1. On triangule l
Page 112 and 113: 112 4. a) On voit que ⎛ ⎝ c’e
Page 114 and 115: 114 b) Avec une telle hypothèse su
Page 116 and 117: 116 b) On a donc M = (a − c)PIP
Page 118 and 119: 118 12. C’est vrai pour ⎛ n = 1
Page 120 and 121: 120 18. On a donc ⎧⎛ ⎨ C(A) =
Page 122 and 123: 122 Exercice 15.4 On a Si a > b, on
Page 124 and 125: 124 Si (v n ) n∈N converge vers 0
Page 126 and 127: 126 2. On a, pour n 1, lnu n = n
Page 128 and 129: 128 En mettant en facteur √ 2, on
Page 130 and 131: 130 2. On remarque que, pour tout n
Page 132 and 133: 132 Exercice 15.23 1. On a, pour to
Page 134 and 135: 134 Exercice 15.26 La suite (u n )
Page 136 and 137:
136 On remarque que et on obtient (
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138 3. On déduit de la question 2
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140 x 1 1 1 . On a donc inf A et
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142 3. Notons p = Ent(nx) et effect
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144 5. En multipliant par l’expre
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146 Exercice 16.6 On note que, pour
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148 2. Soit x 0 ∈ R + et ε > 0.
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150 Exercice 16.15 1. On a, pour to
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152 2. Pour tout n ∈ N, u n − v
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154 On en déduit que u n √ k = e
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156 3. Pour n n 0 , on a v n+2 = |
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158 u 0 = 1 − 1 n , avec n ∈ N
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160 Si u 0 ∈ I 4 , la suite (u n
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162 Exercice 17.22 1. La fonction g
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164 b) La fonction f est décroissa
Page 166 and 167:
166 et g(x) − x = (r + x2 ) 2 (1
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168 Exercice 17.29 1. La fonction g
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170 3. On étudie (x x ) x x xx De
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172 2. Puisque lim 2sin x = 1, on p
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174 Exercice 18.9 On compare la som
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176 On remarque que, pour tout enti
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178 On en déduit que nécessaireme
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180 3. Comme u n tend vers +∞, e
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182 4. On raisonne comme dans 3. En
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184 3. Pour n assez grand, on a nm
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186 Si g n’est pas strictement po
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188 On en déduit que lim |f(x)| =
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190 Pour tout y ∈] − 1,1[, y =
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192 5. On obtient : 0 arctan x < a
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194 2. La réciproque est fausse. S
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196 Pour le produit, on prend le lo
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198 Exercice 20.13 1. Si g(b) = g(a
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200 2. On procède comme dans la qu
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202 3. On a, pour tout réel x, f
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204 On obtient g ′ (x) = (c−x)(
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206 2. Soit f définie sur ] 0, π
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208 La fonction g α ′ s’annule
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210 Ainsi, si x < 0, f ′ (x) =
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212 n−2 ∑ Posons P n (x) = a k
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214 ce qui montre que la propriét
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216 ce qui est possible car x 0 n
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218 Exercice 20.43 1. La dérivée
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220 Chapitre 21 Exercice 21.1 1. On
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222 car e it ne peut pas être éga
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224 Ceci montre que la différence
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226 4. D’après la démonstration
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228 Exercice 21.13 La fonction f s
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230 4. Supposons que f tend vers +
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232 Exercice 21.18 1. Si M = 0, la
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234 Exercice 21.21 1. • Notons qu
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236 Comme, par positivité de l’i
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238 Si la propriété est vérifié
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240 1 est une primitive de x ↦−
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242 ] b) Pour tout x ∈ − π 2 ,
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244 Exercice 22.13 1. a) Pour n ∈
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246 Exercice 22.15 Pour x > 0, on f
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248 c) Supposons que l > 0. On a pa
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250 La fonction f est donc décrois
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252 H de h sur ]0,1[ ou ]1,+∞[ et
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254 c) Notons k le prolongement con
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256 3. On applique la formule de Ta
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258 |x| n 2. On montre comme dans l
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260 De même, f ′ est C 1 donc On
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262 3. On écrit l’inégalité de
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264 On observe que si x ∈ [0,1] e
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266 Comme lim f(x) = l, on a égale
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268 Exercice 23.19 1. Comme f est d
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270 b) On obtient, pour tous réels
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272 ( ) 4. On écrit (1 + 2x) 1 1+x
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274 2. En posant x = π + h, on obt
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276 2. On détermine un développem
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278 Exercice 24.6 1. On écrit des
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280 3. On écrit ( 1 + n) 1 n ( ( =
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282 n∑ x k La fonction x ↦−
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284 On obtient en sommant des relat
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286 3. On suppose x > 0. D’après
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288 Puisque g est décroissante sur
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290 Le signe de ϕ ′ (t) est celu
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292 Le développement limité de x
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294 Si on pose v n = ln n + 1 n , o
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296 2. On note S n la somme partiel
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298 ( ) 1−α m − 1 Quand m tend
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300 b) La suite (R n ) n∈N est à
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302 Exercice 25.9 1. On intègre pa
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304 Exercice 25.10 1. On obtient, e
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306 On reconnaît une somme de Riem
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308 La série de terme général v
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310 et donc S = ex 1 − x . Exerci
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312 on obtient U 2 n u 0 + u 1 + 1
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314 On applique de nouveau le résu
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316 Chapitre 26 Exercice 26.1 1. Le
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318 donc (X,Y ) ∈ Ω 3 . Enfin,
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320 montrent que les suites (a n )
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322 Le point (u,v) appartient donc
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324 n∑ λ i Comme = 1, l’hypoth
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326 2. On montre, comme dans la que
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328 La fonction (x,y) ↦−→ (
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330 y, il contient c xy et on a |f
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332 Exercice 27.13 La fonction f es
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334 Ces dérivées partielles sont
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336 On en déduit que |f(x,y)| |xy
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338 Exercice 28.7 Si U = (a,b) ≠
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340 Exercice 28.11 Les fonctions so
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342 Exercice 28.14 Sur l’ouvert
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344 2. On fixe (x,y) ∈ R 2 . La f
Page 346 and 347:
346 3. P(E ∪ F) = P(E) + P(F) −
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348 Exercice 29.10 1. T ( {A∪B, A
Page 350 and 351:
350 2. Procèdons par récurrence s
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352 P R1∩···∩R n (R n+1 ) =
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354 Or +∞ ⋃ k=1 B k = +∞ ⋃
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356 Exercice 29.24 1. a) p 0 = 1 et
Page 358 and 359:
358 Si i = 6, ou 8 P(E i ) = 25 396
Page 360 and 361:
360 Exercice 29.30 1. M 4 = Id, Don
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362 Exercice 30.3 ∑ Comme X est u
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364 Donc en faisant tendre n vers +
Page 366 and 367:
366 La série de terme général k
Page 368 and 369:
368 n∑ u k = 1. k=1 Donc a n = 1
Page 370 and 371:
370 c) Remarquons que E(Y ) = 4n2 +
Page 372 and 373:
372 Exercice 30.19 1. Par définiti
Page 374 and 375:
374 µ [3] = µ [2] = +∞∑ k=1 =
Page 376 and 377:
376 ( b Ainsi Z k suit une loi de B
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378 x f ′ 0 1 6 1 + 0 − 0 f 0 (
Page 380 and 381:
380 E(Y n ) = 1 2 = 1 2 = 1 2 + 1 2
Page 382 and 383:
382 Or 1−p p appartient à [0,1]
Page 384 and 385:
384 Exercice 30.31 1. L’événeme
Page 386 and 387:
386 Exercice 31.2 1. Pour tout enti
Page 388 and 389:
388 Soit k un entier supérieur ou
Page 390 and 391:
390 Ainsi Z − X et X ont même lo
Page 392:
392 Comme la série de terme géné
Page 395 and 396:
395 P(Y = k) = P(Y = k,X = 0) + P(Y
Page 397 and 398:
397 Donc S suit une loi de Poisson
Page 399 and 400:
n=0 P([X=n+1]∩[Y =n]) P(U=n,V =1)
Page 401 and 402:
401 Exercice 31.20 1. U(Ω) = {0,1,
Page 403 and 404:
403 Pour tout couple (i,j) d’enti
Page 405 and 406:
405 Par définition de la ⎧ covar
Page 407 and 408:
407 b) P(X < Y ) = = = +∞∑ +∞
Page 409 and 410:
Alors la suite (P(X n = N) − 1) n
Page 411 and 412:
Donc en posant p ′ = 1 2−p , X
Page 413 and 414:
413 par l’indépendance des varia
show all

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