Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 7.28
1. Posons Y = X + 1 X . On a
P 1 (Y ) = Y = X + 1 X
et P 2 (Y ) = X 2 + 1 (X
X 2 = + 1 ) 2
− 2 = Y 2 − 2.
X
Supposons que n soit entier tel que, pour tout k inférieur ou égal à n, il existe un polynôme
P k tel que X k + 1
X k = P k(Y ). Calculons
(
X n + 1 )(X
X n + 1 )
X
=
(
X n+1 + 1
X n+1 + Xn−1 + 1
X n−1 )
.
On a donc X n+1 + 1
X n+1 = P n(Y )P 1 (Y )−P n−1 (Y ), et par conséquent, il existe un polynôme
P n+1 = P n P 1 − P n−1 tel que X n+1 + 1
X n+1 = P n+1(Y ).
On conclut par le principe de récurrence.
2. L’utilisation de ce qui précède permet de ramener l’étude d’une équation de degré 5 à
une équation de degré 2, pourvu que les coefficients équidistants des extrêmes soient égaux
(un tel polynôme satisfaisant à cette condition est un polynôme réciproque).
a) On trouve X 4 +4X 3 +8X 2 +4X+1 = [x 2 +(2+ √ 2)x+3+2 √ 2][x 2 +(2− √ 2)x+3−2 √ 2]
b) On trouve X 4 − 3X 3 + 4X 2 − 3X + 1 = (X 2 − X + 1)(X − 1) 2
c) On trouve X 4 + 4X 3 + 4X + 1 = (X 2 + (2 − √ 6)X + 1)(X 2 + (2 + √ 6)X + 1)
d) On trouve X 5 +6X 4 +11X 3 +11X 2 +6X+1 = (X+1)(X 2 +X+1)(X− √ 3+2)(X+ √ 3+2)
Chapitre 8
Exercice 8.1
1. On sait que n + 1 ) n
k + 1(
k
( ) n + 1
= .
k + 1
n∑
On en déduit que (n + 1)I =
Par suite : I = 2n+1 − 1
n + 1
2. On sait que n ( ) n − 1
=
k k − 1
n∑
On en déduit que J =
Par suite :
k=1
J = n × 2 n−1
k=0
n + 1
k + 1( n
k
)
=
n∑
k=0
( n
k)
, et donc que n
( n
k =
k)
( ) n + 1
=
k + 1
( ) n − 1
k − 1
n∑
( ) n − 1
n∑
n = n
k − 1
k=1
k=1
n+1
∑
( ) n + 1
= 2 n+1 − 1
k
k=1
( n
= k
k)
( ) n − 1
k − 1
n−1
∑
( n − 1
= n
k
k=0
)
.