Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 8.15
Soit u 0 le nombre cherché. On a clairement u 0 = 1,u 1 = 2.
La (n + 1)ième droite rencontre les n autres droites et traverse donc (n + 1) régions qui
existent déjà. Elle partage chacune de ces régions en deux, et rajoute donc n + 1 régions.
Ceci fait que u n+1 = u n +n+1. Après avoir constaté que u n = u 0 +1+2+3+...+[(n−1)+1],
n(n + 1)
on peut conclure que u n = 1 +
2
Exercice 8.16
1. Soit F 1 (resp. F 2 , resp. F 3 ) l’ensemble des lancers de P 1 (resp.P 2 , resp. P 3 ) ayant donné
le résultat ”face”.
On cherche à majorer Card ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3
)
. Or,
A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ⊂ A 1 ∩ A 2 et A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ⊂ A 2 ∩ A 3 .
Donc Card ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3
)
Card
(
A1 ∩ A 2
)
et Card
(
A1 ∩ A 2 ∩ A 3
)
Card
(
A2 ∩ A 3
)
.
D’après la formule de Poincaré, on a :
Card(A 1 ∪ A 2 ) = CardA 1 + CardA 2 − Card(A 1 ∩ A 2 ) = 70 + 50 − 31 = 89
et Card(A 2 ∪ A 3 ) = CardA 2 + CardA 3 − Card(A 2 ∩ A 3 ) = 50 + 56 − 28 = 78
Il en résulte que Card ( A 1 ∩ A 2
)
= 11 et Card
(
A2 ∩ A 3
)
= 22.
On conclut alors que Card ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3
)
11
2. Dans cette question, on cherche à minorer Card(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ).
Or Card(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = Card(A 2 ∩ A 3 ) − Card(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = 28 − Card(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ).
Cherchons donc à majorer Card(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ).
Or A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ⊂ A 1 ∩ A 2 , donc Card(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) Card(A 1 ∩ A 2 )
Reste à calculer Card(A 1 ∩A 2 ). Pour cela, constatons que A 2 = (A 1 ∩A 2 )∪(A 1 ∩A 2 )(réunion
disjointe). Donc Card(A 1 ∩ A 2 ) = CardA 2 − Card(A 1 ∩ A 2 ) = 50 − 31 = 19
Il en résulte que Card(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = 28 − Card(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) 28 − 19, c’est à dire
Card(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) 9
Exercice 8.17
1. Avec n points, on construit ( )
n n(n − 1)
2 =
n(n − 1)
2
− n = n2 − 3n
2
diagonales.
2
segments, dont n sont des côtés. Il y a donc
2. À chaque choix de quatre sommets du polygone correspond un point d’intersection de
diagonales intérieur au polygone (et deux extérieurs s’il n’y a pas de parallélisme). Il y a
donc ( n
4)
intersections de diagonales qui sont intérieures au polygone.
3. Pour définir un polygone admettant les n points donnés comme sommets, il faut définir
un itinéraire partant de l’un de ces n points et les joignant successivement les uns aux
autres. Il y a n! tels itinéraires. Mais on peut suivre un tel de ces itinéraires en partant de
l’un quelconque de ces sommets, et on peut le faire dans un sens ou dans l’autre, ce qui
(n − 1)!
fait qu’en définitive, il y aura polygones admettant les n points donnés comme
2
sommets.