Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 23.17
La fonction g est nécessairement définie sur R + par g(x) = f( √ x). Elle est continue sur R + ,
comme composée de fonctions continues. Comme x −→ √ x est de classe C ∞ sur ]0,+∞[, la
fonction g est de classe C 1 sur ]0,+∞[ et, pour tout x > 0,
g ′ (x) = 1
2 √ x f ′ ( √ x).
Comme f est de classe C 2 , f ′
développement limité d’ordre 1
est de classe C 1 ; elle possède au voisinage de 0 un
On en déduit que pour x > 0,
f ′ (x) = f ′ (0) + xf ′′ (0) + o(x) = xf ′′ (0) + o(x).
g ′ (x) = 1
2 √ x (√ xf ′′ (0) + o( √ x)) = 1 2 f ′′ (0) + o(1).
La restriction de g ′ à ]0,+∞[ possède une limite finie en 0. On en déduit, d’après le théorème
de prolongement des fonctions de classe C 1 que la restriction de g à ]0,+∞[ possède un
prolongement de classe C 1 sur R + . Ce prolongement est g car est continue en 0. On conclut
que la fonction g est de classe C 1 .
Exercice 23.18
On sait que la fonction √ f est dérivable en tout point où f ne s’annule pas. Elle sera
dérivable sur R si elle est dérivable en tout point x 0 tel que f(x 0 ) = 0. On peut noter qu’en
un tel point, on a nécessairement f ′ (x 0 ) = 0. En effet, dans le cas contraire, on aurait
f(x) = f(x) − f(x 0 ) ∼
x→x0
(x − x 0 )f ′ (x 0 )
et le signe de f(x) changerait en x 0 , ce qui contredit le fait que f est positive sur R.
On a alors, d’après la formule de Taylor-Young
f(x) = f(x 0 ) + (x − x 0 )f ′ (x 0 ) + (x − x 0) 2
f ′′ (x 0 ) + o((x − x 0 ) 2 )
2
= (x − x 0) 2
f ′′ (x 0 ) + o((x − x 0 ) 2 ).
2
On en déduit qu’au voisinage de x 0 ,
√ √ √
f(x) − f(x0 ) f(x)
= = |x − x √
0| f ′′ (x 0 )
+ o(1).
x − x 0 x − x 0 x − x 0 2
• Si f ′′ (x 0 ) ≠ 0, √ √
f ′′ (x 0 )
f possède un nombre dérivé à droite et un nombre dérivé à
√ 2
f ′′ (x 0 )
gauche − distincts. Elle n’est pas dérivable en x 0 .
2
• Si f ′′ (x 0 ) = 0, √ f est dérivable en x 0 et √ f ′ (x 0 ) = 0.
On trouve finalement que √ f est dérivable en x 0 si et seulement si f ′ (x 0 ) = f ′′ (x 0 ) = 0.