Corrigé des exercices - Dunod

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L’événement (X = n) est l’événement «le joueur a utilisé n flèches» c’est-à-dire «le joueur
a atteint la cible au n ième lancer, ou a utilisé toutes les flèches sans atteindre la cible».
Donc P(X = n) = p(1 − p) n−1 + (1 − p) n .
Comme X est une variable aléatoire réelle discrète finie, X admet une espérance.
E(X) = n(1 − p) n ∑
+ n kp(1 − p) k−1 .
Or
n∑
k=0
x k = 1−xn+1
1−x
k=1
et en dérivant
n∑
k=1
kx k−1 = nxn+1 −(n+1)x n +1
(1−x) 2 .
Donc E(X) = n(1 − p) n + p n(1−p)n+1 −(n+1)(1−p) n +1
p 2 .
Ainsi E(X) = 1−(1−p)n
p
.
2. Pour tout entier k de [1,n], la probabilité que [X = k] sachant que le tireur a atteint sa
cible est p(1 − p) k−1 .
3. Notons X k la variable aléatoire égale à 1 si le joueur atteint sa cible au k ième tir et 0
sinon.
X k suit une loi de Bernoulli de paramètre p.
∑
Alors Y = n (n − k + 1)X k .
k=1
∑
Donc E(Y ) = n (n − k + 1)p = n(n+1)p
Exercice 30.14
k=1
2
.
1. X suit une loi uniforme sur [1,2n]. X admet une espérance et une variance et
E(X) = 2n+1
2
, V (X) = 4n2 −1
12
.
2. a) Y (Ω) = [1,2n].
Soit i un entier inférieur strictement à k.
L’événement (Y = i) est l’événement «le numéro tiré est égal à i» c’est-à-dire «le premier
tirage donne un numéro inférieur strictement à k et le deuxième tirage donne le numéro i».
Donc P(Y = i) = k−1 1
2n 2n .
Soit i un entier de [k,2n].
L’événement (Y = i) est l’événement «le numéro tiré est égal à i»c’est-à-dire la réunion des
événements «le premier tirage donne un numéro inférieur strictement à k et le deuxième
tirage donne le numéro i»et «le premier tirage donne le numéro i».
Donc P(Y = i) = k−1 1
2n 2n + 1
2n = 2n+k−1
4n
. 2
b) Y est une variable aléatoire réelle discrète finie donc admet une espérance.
E(Y ) =
=
=
2n∑
i=1
k−1
∑
i=1
iP(Y = i)
i(k − 1)
4n 2 +
2n∑
i=k
( ) k − 1 k(k − 1)
4n 2 +
2
= 4n2 + 2kn − (k − 1) 2
4n
i(2n + k − 1)
4n 2
( ) 2n + k − 1 (2n + k)(2n − k + 1)
4n 2 2