Corrigé des exercices - Dunod

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Comme, par positivité de l’intégrale,
∫ 1
f(t)dt − ε
∫ 1
χ(t)dt
∫ 1
0
0 0
g(t)dt + ε,
on obtient
1
∣n
n∑
χ(u k ) −
k=1
∫ 1
0
∫ 1
χ(t)dt
∣ g(t)dt −
0
∫ 1
0
f(t)dt + 2ε 3ε.
Mais on vu que 1 n
n∑
k=1
χ(u k ) = N n(a,b)
n
et
N n (a,b)
∣ n
N n (a,b)
On conclut que lim = b − a.
n→+∞ n
∫ 1
0
χ(t)dt = b − a. On a donc, pour n n 0 ,
− (b − a)
∣ 3ε.
Chapitre 22
Exercice 22.1
On a, pour t ≠ ±1,
1
t 2 − 1 = − 1
2(t + 1) + 1
2(t − 1) .
On en déduit que sur chacun des intervalles ]−∞, −1[, ]−1,1[ et ]1,+∞[, la fonction définie
par
F(t) = 1 2 (−ln |t + 1| + ln |t − 1|) = 1 ∣ ∣∣∣
2 ln t − 1
t + 1∣
est une primitive de t ↦−→ 1
t 2 − 1 .
Exercice 22.2
On a, pour t ≠ −1,
a
t + 1 + bt + c
t 2 − t + 1 = (a + b)t2 + (−a + b + c)t + a + c
t 3 = 1
+ 1
t 3 + 1
si
a + b = 0, −a + b + c = 0, a + c = 1, soit a = 1 3 , b = −1 3 , c = 2 3 .
Pour tout t ≠ −1,
1
t 3 + 1 = 1
3(t + 1) + 1 −t + 2
3 t 2 − t + 1 .