Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 9.6
Soient a,b,c trois réels tels que a(1,k,2) + b(−1,8,k) + c(1,2,1) = 0. On résout le système
équivalent
⎧
⎨
⎩
a − b + c = 0
ka + 8b + 2c = 0
2a + kb + c = 0
⎧
⎨
⇔
⎩
⎧
⎨
⇔
⎩
⎧
⎨
⇔
⎩
a − b + c = 0
(8 + k)b + (2 − k)c = 0
(k + 2)b − c = 0
a − b + c = 0
−c + (k + 2)b = 0
(2 − k)c + (8 + k)b = 0
L 2 ↔ L 3
L 2 ← L 2 − kL 1
L 3 ← L 3 − 2L 1
a − b + c = 0
−c + (k + 2)b = 0
((8 + k) + (2 − k)(k + 2)) b = 0 L 3 ← L 3 + (2 − k)L 2
Donc si ((8 + k) + (2 − k)(k + 2)) ≠ 0, alors b = 0, donc c = 0 et par suite a = 0 et dans
ce cas la famille est libre. Inversement si ce coefficient est nul alors le système admet une
solution avec b = 1 (qu’il est inutile d’expliciter) et donc la famille est liée. On en déduit
que la famille est liée si et seulement si k vérifie l’équation −k 2 + k + 12 = 0, c’est-à-dire si
et seulement si k ∈ {−3,4}.
Exercice 9.7
1. On trouve par exemple ((−2,1,0),(−3,0,1)).
2. Le vecteur u = (x,y,z) ∈ E si et seulement si
{ {
2x − z = 0
y + z = 0 ⇔ x =
1 2 z
y = −z
( ) 1
⇔ u = z
2 , −1,1
d’où E = Vect (( 1
2 , −1,1)) et dim E = 1
3. Le vecteur u = (x,y,z) ∈ E si et seulement si
{ { {
x + 5y − 3z = 0 x + 5y − 3z = 0 x = −2z
−x − 4y + 2z = 0 ⇔ y − z = 0 ⇔ y = z
Donc E = Vect(−2,1,1) et dim(E) = 1.
4. Le vecteur u = (x,y,z) ∈ E si et seulement si
{ 2x + y − 3z = 0
4x + 2y − 5z = 0 ⇔ { 2x + y − 3z = 0
z = 0 ⇔ { y = −2x
z = 0
Donc E = Vect(1, −2,0) et dim(E) = 1.
Exercice 9.8
où z ∈ R
1. On résout le système
{ { { x + y + z + t = 0 x + y + z + t = 0 x = −z
x − y + z − t = 0 ⇔ −2y − 2t = 0 ⇔ y = −t
⇔ u = z(−2,1,1) où z ∈ R
⇔ u = x(1, −2,0) où x ∈ R
On reconnaît donc Vect((−1,0,1,0),(0, −1,0,1)). De plus, ces deux vecteurs n’étant pas
colinéaires, ils forment une base du sous-espace proposé.