Corrigé des exercices - Dunod

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Or les variables aléatoires X et Y sont indépendantes et si k + i /∈ [0,n + 1] c’est-à-dire
i /∈ [ − k,n + 1 − k], alors P(X = k + i) = 0.
Soit k un entier de [ − n,n + 1].
P(X − Y = k) =
=
=
min(n,n+1−k)
∑
i=max(0,−k)
( ) ( ) n + 1 1 n 1
k + i 2 n+1 i 2 n
min(n,n+1−k)
1 ∑
( )( )
n + 1 n
2 2n+1 k + i n − i
(
2n + 1
n + k
i=max(0,−k)
) 1
2 2n+1
⎝ 2n + 1 ⎠
n
3. P(X = Y ) = P(X − Y = 0) =
2
.
⎛
2n+1
P(X > Y ) = P(X − Y > 0) = n+1
⎝ 2n + 1
⎞ ⎛
⎠
∑ n + k
2
= 2n+1
⎝ 2n + 1
∑ k
2n+1
k=1
k=n+1
( ) ( ) ( )
Or 2n+1 ∑ 2n + 1 ∑
= n 2n + 1
+ 2n+1 ∑ 2n + 1
.
k=0
k
k=0
k
k=n+1
k
( ) ( ) ( )
∑
Comme n 2n + 1 ∑
= n 2n + 1
= 2n+1 ∑ 2n + 1
.
k=0
k
k=0
2n + 1 − k
k=n+1
k
( )
Donc 2n+1 ∑ 2n + 1
=
k=n+1
k
1 2 .
Ainsi P(X > Y ) = 1
2
. 2n+2
Exercice 31.4
⎛
⎞
⎞
⎠
2 2n+1 .
1. La loi de X + Y a été déterminé dans l’exercice 1 et pour tout entier k supérieur ou égal
à 2, P(X + Y = k) = (k − 1)p 2 (1 − p) k−2 .
∑
Pour tout réel x de [k − 1,k[, P(X + Y x) = P(X + Y k) = k (i − 1)p 2 (1 − p) i−2 .
Donc P(X + Y x) = p 2 ∑ k i(1 − p) i−1 .
i=1
∑
Or la fonction t ↦→ k it i−1 ∑
est la fonction dérivée de la fonction t ↦→ k t i .
i=1
∑
Alors k it i−1 = (k − 1)tk − kt k−1 + 1
i=1
(t − 1) 2 .
Ainsi pour tout réel x de [k − 1,k[, P(X + Y x) = (k − 1)(1 − p) k − k(1 − p) k−1 + 1.
En utilisant le système complet d’événements (Z = i) i∈N ∗,
pour tout entier k, P(X + Y + Z = k) =
+∞∑
i=1
i=2
i=0
P(X + Y = k − i,Z = i).