Corrigé des exercices - Dunod

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Notons G n l’événement «le joueur gagne au n ième lancer» et G l’événement «le joueur
gagne».
G n = G n ∩ C n−1 , alors P(G n ) = P Cn−1 (G n )P(C n−1 ) =
n=1
brn−1
(b+n+r)
. n
Et G est la réunion des événements G n deux à deux incompatibles.
Ainsi P(G) = +∞ ∑
br n−1
(b+n+r)
= b n b+n .
2. On ne peut plus supposer ici les tirages indépendants.
p 0 = b
n+b et p 1 =
b
b+n+1 + b
(b+n+1)(b+n) = b
b+n .
Notons R (respectivement B ,N) l’événement «la première boule tirée est de couleur rouge
(respectivement blanche, noire)», et G r l’événement «le joueur gagne quand il y a r boules
rouges dans l’urne».
(R,B,N) forme un système complet d’événements.
Et d’après la formule des probabilités totales, P(G r ) = P B (G r )P(B)+P N (G r )P(N)+P R (G r )P(R).
Donc p r =
b
b+n+r + r
b+n+r p r−1.
Par récurrence, on montre que p r = b
b+n .
Exercice 29.26
Notons B la tribu des boréliens.
• Comme Ω ∈ B, alors A ∈ R A .
• Soit C ∈ R A . Il existe un borélien B tel que C = A ∩ B.
Comme B est stable par passage au complémentaire, le complémentaire de B dans R, B
est un borélien, et le complémentaire de C dans A, A ∩ B est un élément de R A .
• Soient (C i ) i∈I une famille d’éléments de R A où I est une partie de N. Il existe alors une
famille (B i ) i∈I de boréliens telle que ∀i ∈ I, C i = B i ∩ A.
Alors ⋃ B i est un borélien donc ⋃ C i ∈ R A .
i∈I
Ainsi R A est une tribu de A.
Exercice 29.27
1.
i∈I
Si i = 2, 3, ou 12 ∀n 1, P(E i,n ) = 0.
Si i = 7, ou 11 P(E i,1 ) = 8
36 et pour tout n 2, P(E i,n) = 0.
Si i = 4, ou 10 P(E i,1 ) = 0 et pour tout n 2, P(E i,n ) = 3 36
Si i = 6, ou 8 P(E i,1 ) = 0 et pour tout n 2, P(E i,n ) = 5
36
Si i = 5, ou 9 P(E i,1 ) = 0 et pour tout n 2, P(E i,n ) = 4
36
( 27 n−2 3
36)
36 .
( 25
) n−2 5
36 36 .
( 26
) n−2 4
36 36 .
2. Comme E i est la réunion des événements E i,n qui sont deux à deux incompatibles,
P(E i ) = +∞ ∑
P(E i,n ).
n=1
Si i = 2, 3, ou 12 P(E i ) = 0.
Si i = 7, ou 11 P(E i ) = 8
36 .
Si i = 4, ou 10 P(E i ) = 1
36