Corrigé des exercices - Dunod

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3. Les réciproques sont fausses.
Si u n = (−1) n n, on a u 2n−1 + u 2n = 1. On en déduit que
v 2n = n
2n = 1 2
et v 2n+1 = n − 2n − 1
2n + 1
= − n + 1
2n + 1·
On a pour tout entier n 1, |v n | 1. La suite v est bornée sans que u le soit.
Si u n = (−1) n + n, on a
v 2n = 1
2n
2n∑
k=1
car les (−1) n se simplifient deux à deux et
v 2n+1 =
k = 1 2n(2n + 1)
2n 2
= 2n + 1 ,
2
( 2n+1
)
1 ∑
k − 1 = 2n2 + 3n
2n + 1
2n + 1 .
k=1
On vérifie facilement que v 2n v 2n+1 v 2n+2 pour tout n ∈ N ∗ : la suite v est croissante,
ce qui n’est pas le cas de u car u 2n = 2n + 1 et u 2n+1 = 2n.
Exercice 15.2
1. Soit A l’ensemble fini des valeurs prises par la suite (u n ) n∈N . Puisque A est fini, les
distances mutuelles entre deux points de cet ensemble sont en nombre fini. Notons d > 0
la plus petite distance entre deux points distincts de A (si Card A = 1, il n’y a rien à
démontrer). On applique la définition de la limite avec ε = d 3 . Il existe un entier n 0 tel que
∀n n 0 |u n − l| d 3 .
Pour n n 0 , on a
|u n+1 − u n | |u n+1 − l| + |u n − l| 2d 3 .
0r u n et u n+1 sont des éléments de A. Puisque leur distance est strictement inférieure à d,
ils sont égaux et la suite (u n ) n∈N est stationnaire à partir du rang n 0 .
2. Si la suite est périodique de période p, elle prend au plus p valeurs, donc d’après la question
1, elle est stationnaire. Étant périodique, elle est constante
Exercice 15.3
On écrit la définition de la limite avec ε = 1 3 . Il existe un entier n 0 tel que,
∀n n 0 l − 1 3 u n l + 1 3 .
[
L’intervalle l − 1 3 ,l + 1 ]
est de longueur strictement inférieure à 1 ; il contient au plus un
3
entier. Comme u n est entier, la suite (u n ) n∈N est stationnaire à partir du rang n 0 .